Determine a equação do círculo que satisfaz a propriedade dada:
Passa pelos pontos (1,1),(1,-2) e (2,3).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação do círculo que passa pelos pontos (1,1), (1,-2) e (2,3).
Informações dadas:
  • Três pontos pelo qual o círculo passa: (1,1), (1,-2), (2,3).
  • Precisa-se encontrar a equação do círculo que passa por esses três pontos.

Passo 2

Escolhemos representar o círculo pela sua forma geral (polinomial):
x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0.
Explicando o que são D, E e F:
  • D é o coeficiente linear que multiplica x.
  • E é o coeficiente linear que multiplica y.
  • F é o termo constante.
    Essa forma é conveniente porque ao impor que três pontos pertençam ao círculo obtemos um sistema linear em D,E,F.
Agora substituímos cada um dos pontos na equação para obter três equações lineares.
Para (1,1):
1^{2}+1^{2}+D\cdot1+E\cdot1+F=0
ou seja
D+E+F=-2. \tag{1}
Para (1,-2):
1^{2}+(-2)^{2}+D\cdot1+E\cdot(-2)+F=0
ou seja
D-2E+F=-5. \tag{2}
Para (2,3):
2^{2}+3^{2}+D\cdot2+E\cdot3+F=0
ou seja
2D+3E+F=-13. \tag{3}

Passo 3

Vamos eliminar incógnitas do sistema. Subtraindo a equação (1) da equação (2) para eliminar D e F:
(D-2E+F)-(D+E+F)=-5-(-2).
Isso dá
-3E=-3,
logo
E=1.

Passo 4

Substituindo E=1 na equação (1):
D+1+F=-2 \quad\Rightarrow\quad D+F=-3. \tag{1'}
Substituindo E=1 na equação (3):
2D+3\cdot1+F=-13 \quad\Rightarrow\quad 2D+F=-16. \tag{3'}
Agora subtraímos (1') de (3'):
(2D+F)-(D+F)=-16-(-3),
o que resulta em
D=-13.
Com D=-13 e usando (1'):
-13+F=-3 \quad\Rightarrow\quad F=10.
Portanto os coeficientes são
D=-13,\qquad E=1,\qquad F=10.

Passo 5

Escrevendo a equação do círculo com esses coeficientes:
x^{2}+y^{2}-13x+y+10=0.

Passo 6

(Optional — encontrar centro e raio explicando como fazer)
Para obter o centro e o raio fazemos o “completar quadrado”. Agrupando termos:
x^{2}-13x + y^{2}+y +10 =0.
Completar quadrado em x: x^{2}-13x = (x-\tfrac{13}{2})^{2}-\tfrac{169}{4}.
Completar quadrado em y: y^{2}+y = (y+\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}.
Substituindo:
\left(x-\tfrac{13}{2}\right)^{2}-\tfrac{169}{4} + \left(y+\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4} +10 =0.
Somando os constantes:
-\tfrac{169}{4}-\tfrac{1}{4}+10 = -\tfrac{170}{4}+10 = -\tfrac{85}{2}+ \tfrac{20}{2} = -\tfrac{65}{2}.
Passando para o outro lado:
\left(x-\tfrac{13}{2}\right)^{2}+\left(y+\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{65}{2}.
Assim o centro é \left(\tfrac{13}{2},-\tfrac{1}{2}\right) e o raio é r=\sqrt{\tfrac{65}{2}}=\dfrac{\sqrt{130}}{2}.

Resposta

x^{2}+y^{2}-13x+y+10=0

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