Determine a equação do círculo que satisfaz a propriedade dada:
Passa pelos pontos
e
.
Passa pelos pontos
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação do círculo que passa pelos pontos
,
e
.
Informações dadas:
- Três pontos pelo qual o círculo passa:
, , . - Precisa-se encontrar a equação do círculo que passa por esses três pontos.
Passo 2
Escolhemos representar o círculo pela sua forma geral (polinomial):
Explicando o que são
,
e
:
-
é o coeficiente linear que multiplica . -
é o coeficiente linear que multiplica . -
é o termo constante.
Essa forma é conveniente porque ao impor que três pontos pertençam ao círculo obtemos um sistema linear em.
Agora substituímos cada um dos pontos na equação para obter três equações lineares.
Para
:
ou seja
Para
:
ou seja
Para
:
ou seja
Passo 3
Vamos eliminar incógnitas do sistema. Subtraindo a equação
da equação
para eliminar
e
:
Isso dá
logo
Passo 4
Substituindo
na equação
:
Substituindo
na equação
:
Agora subtraímos
de
:
o que resulta em
Com
e usando
:
Portanto os coeficientes são
Passo 5
Escrevendo a equação do círculo com esses coeficientes:
Passo 6
(Optional — encontrar centro e raio explicando como fazer)
Para obter o centro e o raio fazemos o “completar quadrado”. Agrupando termos:
Para obter o centro e o raio fazemos o “completar quadrado”. Agrupando termos:
Completar quadrado em
:
.
Completar quadrado em :
.
Completar quadrado em
Substituindo:
Somando os constantes:
Passando para o outro lado:
Assim o centro é
e o raio é
.