Encontre a equação da reta tangente ao círculo x^{2}+y^{2}=180 que tem inclinação 2.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a(s) equação(ões) da reta tangente ao círculo x^{2}+y^{2}=180 que tem inclinação 2.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A equação do círculo é x^{2}+y^{2}=180.
  • O centro do círculo é o ponto (0,0) (isto vem do fato de não haver termos em x ou y lineares).
  • O raio do círculo é \sqrt{180}=6\sqrt{5}.
  • A reta procurada tem inclinação (coeficiente angular) m=2.
  • Precisamos achar todas as retas com m=2 que tocam o círculo exatamente em um ponto (tangentes).

Passo 2

Escolher um modelo para a reta com inclinação 2. A forma mais simples é a forma reduzida:
y=2x+b,
onde b é o coeficiente linear (interseção com o eixo y) que ainda não conhecemos. O objetivo agora é encontrar o(s) valor(es) de b que tornam essa reta tangente ao círculo.
Explicação didática do critério de tangência (sem mistério):
  • Se substituirmos y da reta na equação do círculo, obtemos uma equação em x.
  • Essa equação será um polinômio quadrático em x.
  • Geometricamente, a reta é tangente ao círculo quando o sistema tem exatamente uma solução real comum — ou seja, a equação quadrática tem uma única raiz real (uma raiz dupla).
  • Para uma equação quadrática A x^{2}+B x+C=0, isso acontece quando o discriminante \Delta = B^{2}-4AC é igual a zero. (Se \Delta>0 há duas interseções, se \Delta=0 tangência, se \Delta<0 não se interceptam no real.)

Passo 3

Substituir y=2x+b em x^{2}+y^{2}=180 e formar o quadrático em x.
Substituição:
x^{2}+(2x+b)^{2}=180.
Expandindo:
x^{2}+4x^{2}+4bx+b^{2}=180.
Somando termos semelhantes:
5x^{2}+4b x+(b^{2}-180)=0.
Agora identificamos os coeficientes do quadrático em x:
A=5,\qquad B=4b,\qquad C=b^{2}-180.

Passo 4

Aplicar a condição de tangência \Delta=0. Calcular o discriminante:
\Delta = B^{2}-4AC = (4b)^{2}-4\cdot 5\cdot (b^{2}-180).
Calcule passo a passo:
(4b)^{2}=16b^{2},
4\cdot 5\cdot(b^{2}-180)=20b^{2}-3600.
Então
\Delta = 16b^{2}-(20b^{2}-3600)=16b^{2}-20b^{2}+3600=3600-4b^{2}.
Impor \Delta=0:
3600-4b^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4b^{2}=3600 \quad\Longrightarrow\quad b^{2}=900.
Logo
b=\pm 30.

Passo 5

Interpretando: existem duas retas com inclinação 2 que são tangentes ao círculo, correspondendo a b=30 e b=-30. Assim as equações são
y=2x+30 \qquad\text{e}\qquad y=2x-30.
Para fixar a ideia, vamos encontrar os pontos de tangência (opcional, mas esclarece por que são tangentes):
  • Para um quadrático com \Delta=0, a raiz única em x é
x = -\frac{B}{2A} = -\frac{4b}{2\cdot 5} = -\frac{4b}{10} = -\frac{2b}{5}.
Para b=30:
x=-\frac{2\cdot 30}{5}=-12,\qquad y=2(-12)+30=6.
Ponto de tangência (-12,6). Verificação: (-12)^{2}+6^{2}=144+36=180, ok.
Para b=-30:
x=-\frac{2\cdot(-30)}{5}=12,\qquad y=2(12)-30=-6.
Ponto de tangência (12,-6). Verificação: 12^{2}+(-6)^{2}=144+36=180, ok.
Observação geométrica rápida (confirmatória): o segmento do centro (0,0) até o ponto de tangência tem coeficiente angular \frac{6}{-12}=-\tfrac{1}{2} no primeiro caso, que é o negativo do inverso de 2; isto mostra que o raio é perpendicular à reta tangente, como deve ser.

Resposta

y=2x+30
y=2x-30

Exercícios relacionados