Encontre a equação da reta tangente ao círculo
que tem inclinação 2.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a(s) equação(ões) da reta tangente ao círculo
que tem inclinação
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A equação do círculo é
. - O centro do círculo é o ponto
(isto vem do fato de não haver termos em ou lineares). - O raio do círculo é
. - A reta procurada tem inclinação (coeficiente angular)
. - Precisamos achar todas as retas com
que tocam o círculo exatamente em um ponto (tangentes).
Passo 2
Escolher um modelo para a reta com inclinação
. A forma mais simples é a forma reduzida:
onde
é o coeficiente linear (interseção com o eixo
) que ainda não conhecemos. O objetivo agora é encontrar o(s) valor(es) de
que tornam essa reta tangente ao círculo.
Explicação didática do critério de tangência (sem mistério):
- Se substituirmos
da reta na equação do círculo, obtemos uma equação em . - Essa equação será um polinômio quadrático em
. - Geometricamente, a reta é tangente ao círculo quando o sistema tem exatamente uma solução real comum — ou seja, a equação quadrática tem uma única raiz real (uma raiz dupla).
- Para uma equação quadrática
, isso acontece quando o discriminante é igual a zero. (Se há duas interseções, se tangência, se não se interceptam no real.)
Passo 3
Substituir
em
e formar o quadrático em
.
Substituição:
Expandindo:
Somando termos semelhantes:
Agora identificamos os coeficientes do quadrático em
:
Passo 4
Aplicar a condição de tangência
. Calcular o discriminante:
Calcule passo a passo:
Então
Impor
:
Logo
Passo 5
Interpretando: existem duas retas com inclinação
que são tangentes ao círculo, correspondendo a
e
. Assim as equações são
Para fixar a ideia, vamos encontrar os pontos de tangência (opcional, mas esclarece por que são tangentes):
- Para um quadrático com
, a raiz única em é
Para
:
Ponto de tangência
. Verificação:
, ok.
Para
:
Ponto de tangência
. Verificação:
, ok.
Observação geométrica rápida (confirmatória): o segmento do centro
até o ponto de tangência tem coeficiente angular
no primeiro caso, que é o negativo do inverso de
; isto mostra que o raio é perpendicular à reta tangente, como deve ser.