Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A=(1,2) e B=(5,4) e tem o centro sobre a reta de equação 4 x+y-2=0. Qual o centro e o raio dessa circunferência?

Passo 1

O enunciado pede a circunferência que passa por A=(1,2) e B=(5,4) e cujo centro C=(h,k) pertence à reta 4x+y-2=0. O conteúdo é geometria analítica de círculos: vamos usar que todo ponto do círculo está à mesma distância do centro e impor que C satisfaça a equação da reta.

Passo 2

Como A e B estão na circunferência, as distâncias de C=(h,k) a esses pontos são iguais. Em termos de quadrados de distância:
(1-h)^2+(2-k)^2 ;=;(5-h)^2+(4-k)^2
Expandindo cada lado:
h^2+k^2-2h-4k+5 ;=;h^2+k^2-10h-8k+41
Cancelando h^2+k^2 e rearranjando:
-2h-4k+5 = -10h-8k+41 Longrightarrow 8h+4k-36=0 Longrightarrow 2h+k-9=0
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k = 9-2h

Passo 3

O centro deve também satisfazer a reta 4x+y-2=0. Substituindo x=h e y=k:
4h+k-2=0 Longrightarrow k = 2-4h
Igualando as duas expressões de k:
9-2h = 2-4h Longrightarrow 2h+7=0 Longrightarrow h = -tfrac72, k = 9 -2l(-tfrac72r)=16

Passo 4

O raio r é a distância de C a A. Assim,
r^2 = (1 - (-tfrac72))^2 + (2-16)^2 = l(tfrac92r)^2 + (-14)^2 = 814 + 196 = 8654,
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r = raiz8652

Resposta

O centro é C=l(-tfrac72,,16r) e o raio é r=tfracraiz8652. A equação da circunferência, em forma padrão, é
l(x+tfrac72r)^2 + (y-16)^2 = 8654

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