Determine a equação do cone obtido por rotação da reta em torno do eixo . (resp.:
Passo 1
O enunciado pede a equação do cone que se obtém ao girar a reta em torno do eixo . O conteúdo da matéria é superfícies de revolução e vamos usar parametrização da reta e a propriedade de que, ao girar em torno do eixo , a coordenada se mantém e a distância ao eixo () é preservada.
Passo 2
Parametrizamos a reta por um parâmetro :
Esse ponto, ao girar em torno de , gera um círculo paralelo ao plano de mesmo raio e altura .
Passo 3
Num ponto genérico do cone pós-rotação, temos
e
Isso porque a rotação não altera y e mantém a distância do ponto ao eixo y.
Passo 4
Eliminamos o parâmetro t usando y=a,t+b, ou seja,
t=y-ba
Substituindo em raizx^2+z^2=|t| obtemos
raizx^2+z^2 =|y-ba|
Passo 5
Elevando ao quadrado e multiplicando por a^2, chega-se a