Determine a equação do cone obtido por rotação da reta y=a x+b, z=0 em torno do eixo y. (resp.: a^2(x^2+z^2)=(y-b)^2)

Passo 1

O enunciado pede a equação do cone que se obtém ao girar a reta ,y=a,x+b,;z=0 em torno do eixo y. O conteúdo da matéria é superfícies de revolução e vamos usar parametrização da reta e a propriedade de que, ao girar em torno do eixo y, a coordenada y se mantém e a distância ao eixo ( raizx^2+z^2) é preservada.

Passo 2

Parametrizamos a reta por um parâmetro tinR:
x(t)=t, y(t)=a,t+b, z(t)=0
Esse ponto, ao girar em torno de y, gera um círculo paralelo ao plano x!z de mesmo raio |t| e altura y=a,t+b.

Passo 3

Num ponto genérico do cone pós-rotação, temos
y=a,t+b
e
raizx^2+z^2=l|tr|
Isso porque a rotação não altera y e mantém a distância do ponto ao eixo y.

Passo 4

Eliminamos o parâmetro t usando y=a,t+b, ou seja,
t=y-ba
Substituindo em raizx^2+z^2=|t| obtemos
raizx^2+z^2 =|y-ba|

Passo 5

Elevando ao quadrado e multiplicando por a^2, chega-se a
x^2+z^2=(y-b)^2a^2 Longrightarrow a^2l(x^2+z^2r)=(y-b)^2

Resposta

a^2l(x^2+z^2r)=(y-b)^2

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