1. Determine a equação do cone de revolução com eixo x, vértice na origem e geratriz formando com o eixo um ângulo de pi / 3 rad.
    (resp.: y^2+z^2=3 x^2 )

Passo 1

O enunciado pede a equação do cone de revolução cujo eixo é o eixo x, vértice na origem e cujas geratrizes fazem um ângulo de pi/3 com o eixo x. Vamos usar a definição de ângulo entre vetores e produto escalar para obter a relação entre x,y,z.

Passo 2

Se (x,y,z) é ponto do cone, a geratriz é o segmento de reta de (0,0,0) até (x,y,z). O ângulo alpha entre esse vetor OP=(x,y,z) e o eixo x, representado pelo vetor vec ex=(1,0,0), satisfaz
cosalpha ;=;OPcdotvec ex|OP||vec ex| ;=;xraizx^2+y^2+z^2,cdot1

Passo 3

Como alpha=pi/3, temos cos(pi/3)=1/2. Logo
xraizx^2+y^2+z^2=12 Longrightarrow 2x=raizx^2+y^2+z^2 Longrightarrow 4x^2=x^2+y^2+z^2
e daí
y^2+z^2=3x^2

Resposta

y^2+z^2=3x^2

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