1. Os cilindros S1: z^3=x e S2: x^2=y cortam-se segundo uma curva gamma. Encontre a equação do cilindro S3 com diretriz gamma e geratriz paralela ao eixo x.
    (resp.: y=z^6 )

Passo 1

O enunciado nos dá dois cilindros cujas equações são
S1:;z^3=x
e
S2:;x^2=y,
que se intersectam numa curva gamma. Pede-se o cilindro S3 de diretriz gamma e geratrizes paralelas ao eixo x. Para resolver, vamos (i) determinar a curva gamma, (ii) identificar a relação entre y e z ao longo de gamma, e (iii) usar essa relação para escrever a equação de S3, lembrando que, por ser cilíndrico com geratrizes paralelas a x, sua equação não depende de x.

Passo 2

Para achar gamma, resolvemos simultaneamente as equações de S1 e S2. Da primeira equação vem
x = z^3
Substituindo em S2 obtém-se
y = (z^3)^2 = z^6
Logo a curva de interseção tem representação parametrizada por
gamma:;(x,y,z) = l(z^3,,z^6,,zr)

Passo 3

Como S3 deve ter geratrizes paralelas ao eixo x, sua equação independe de x e envolve apenas a relação entre y e z dada pela curva gamma.

Passo 4

Da expressão de gamma vemos que a relação entre y e z é
y = z^6
Portanto, o cilindro S3 é definido por essa única equação, sem referência a x.

Resposta

y = z^6

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