Esboce o gráfico das seguintes superfícies cilíndricas:
z^2=x^3

Passo 1

Estamos sendo solicitados a esboçar a superfície definida pela equação
z^2 = x^3
Essa superfície é cilíndrica no sentido de que não envolve a variável y, logo é obtida “esticando” uma curva do plano xz ao longo do eixo y.

Passo 2

Para entender a curva geratriz no plano xz, note que
z^2 = x^3Longrightarrow x = z^tfrac23,
com a restrição implícita x>=0. Portanto, no plano xz temos uma curva que passa pela origem e se abre para a direita, simétrica em relação ao eixo z=0.

Passo 3

Vamos analisar algumas características dessa curva no plano xz:
  1. Em z=0 vale x=0.
  2. Para z>0, x cresce como z^2/3, o que dá uma tangente horizontal em z=0.
  3. A parte negativa z<0 gera o mesmo gráfico espelhado em torno de z=0.
Assim obtemos dois ramos juntando-se num “bico” na origem e se estendendo para x>0.

Passo 4

Como a equação não envolve
onde reproduzem exatamente .

Resposta

O esboço consiste em uma curva no plano xz dada por x=z^2/3 (dois ramos para z>=0 e z<=0), com vértice na origem e abrindo para x>0, estendida paralelamente ao eixo y.

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