A parábola y^{2}=8 x tem foco F. Encontre a equação da reta tangente no ponto P(2,4) usando apenas a definição geométrica (ângulo igual entre foco e diretriz).

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que nos foi dado e o que precisamos achar):\n
Temos a parábola y^{2}=8x. O foco é F. O ponto P(2,4) pertence à parábola. A tarefa é: encontrar a equação da reta tangente à parábola no ponto P, usando apenas a definição geométrica da parábola (isto é, a propriedade envolvendo foco e diretriz — ângulo igual / propriedade de reflexão).\n
Informações úteis que extraí do enunciado e vou usar: \n
  • A parábola é y^{2}=8x.
  • O ponto onde queremos a tangente é P(2,4).
  • Vou precisar do foco F e da directriz da parábola (essas vêm da forma padrão da parábola).

Passo 2

Achar o parâmetro a, o foco F e a directriz a partir da equação da parábola.\n
Comparo y^{2}=8x com a forma padrão \;y^{2}=4ax\;. Igualando os coeficientes obtenho\n
4a=8 \quad\Longrightarrow\quad a=2.
Para a forma \;y^{2}=4ax\; o foco é \;(a,0)\; e a directriz é a reta \;x=-a.\n
Portanto, para a nossa parábola:\n
F=(a,0)=(2,0),\n
\text{directriz: } x=-a = -2.

Passo 3

Explicar a propriedade geométrica que vamos usar (e por que ela vale, de forma intuitiva e suficiente para a prova).\n
Definição geométrica da parábola: um ponto X pertence à parábola se a distância de X ao foco F é igual à distância de X à directriz. A propriedade-reflexo/ângulos que usamos é: a reta tangente à parábola num ponto P forma ângulos iguais com a linha PF e com a perpendicular à directriz que passa por P. Em palavras mais simples: a tangente em P “reflete” um raio vindo do foco de modo que o raio refletido sai paralelo à diretriz (ou perpendicular à directriz), portanto o ângulo entre tangente e PF é igual ao ângulo entre tangente e a perpendicular à directriz.\n
Intuição curta do porquê isto é verdade (suficiente para usar no exercício): imagine um raio vindo do foco até P; pela definição de parábola os caminhos focodiretriz têm a mesma distância — a reta tangente funciona como linha de reflexão entre esses dois caminhos, de modo que os ângulos de incidência e reflexão em relação à tangente são iguais. Esse é o clássico argumento da propriedade refletora da parábola (é a mesma propriedade que faz parabólicas concentrarem fótons/ondas no foco). Assim, podemos afirmar com segurança que a tangente em P bisseta o ângulo entre PF e a perpendicular à directriz em P.

Passo 4

Aplicar a propriedade ao nosso caso concreto: determinar as direções envolvidas.\n
  • Já achamos F=(2,0) e P=(2,4). Então o segmento PF é vertical, pois ambas as abscissas são 2. Assim a reta PF tem direção vertical (ângulo de 90^\circ ou -90^\circ em relação ao eixo x).\n
  • A directriz é a reta vertical \;x=-2. Uma reta perpendicular à directriz é, portanto, horizontal. A perpendicular à directriz que passa por P é a reta horizontal \;y=4 (essa é a linha “direção da directriz perpendicular” no ponto P).\n
    Logo, os dois segmentos/linhas que o tangente bisseta são: uma vertical ( PF) e uma horizontal ( y=4). O ângulo entre vertical e horizontal é 90^\circ. A tangente bissetando esse ângulo forma, com a horizontal, um ângulo de metade disso, ou seja 45^\circ.

Passo 5

Converter o ângulo bissetado em declividade (coeficiente angular) e obter a equação da reta.\n
Um ângulo de 45^\circ em relação à horizontal tem coeficiente angular \tan 45^\circ=1. Portanto a tangente em P tem declive m=1.\n
A equação da reta tangente em forma ponto-declive é\n
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
com (x_{0},y_{0})=P(2,4) e m=1. Substituindo:\n
y-4=1\cdot (x-2).
Simplificando obtemos a forma reduzida:\n
y=x+2.

Resposta

y=x+2

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