A parábola
tem foco
. Encontre a equação da reta tangente no ponto
usando apenas a definição geométrica (ângulo igual entre foco e diretriz).
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que nos foi dado e o que precisamos achar):\n
Temos a parábola . O foco é
. O ponto
pertence à parábola. A tarefa é: encontrar a equação da reta tangente à parábola no ponto
, usando apenas a definição geométrica da parábola (isto é, a propriedade envolvendo foco e diretriz — ângulo igual / propriedade de reflexão).\n
Informações úteis que extraí do enunciado e vou usar: \n
Temos a parábola
Informações úteis que extraí do enunciado e vou usar: \n
- A parábola é
. - O ponto onde queremos a tangente é
. - Vou precisar do foco
e da directriz da parábola (essas vêm da forma padrão da parábola).
Passo 2
Achar o parâmetro
, o foco
e a directriz a partir da equação da parábola.\n
Comparo com a forma padrão
. Igualando os coeficientes obtenho\n
Comparo
Para a forma
o foco é
e a directriz é a reta
.\n
Portanto, para a nossa parábola:\n
Portanto, para a nossa parábola:\n
Passo 3
Explicar a propriedade geométrica que vamos usar (e por que ela vale, de forma intuitiva e suficiente para a prova).\n
Definição geométrica da parábola: um ponto pertence à parábola se a distância de
ao foco
é igual à distância de
à directriz. A propriedade-reflexo/ângulos que usamos é: a reta tangente à parábola num ponto
forma ângulos iguais com a linha
e com a perpendicular à directriz que passa por
. Em palavras mais simples: a tangente em
“reflete” um raio vindo do foco de modo que o raio refletido sai paralelo à diretriz (ou perpendicular à directriz), portanto o ângulo entre tangente e
é igual ao ângulo entre tangente e a perpendicular à directriz.\n
Intuição curta do porquê isto é verdade (suficiente para usar no exercício): imagine um raio vindo do foco até ; pela definição de parábola os caminhos focodiretriz têm a mesma distância — a reta tangente funciona como linha de reflexão entre esses dois caminhos, de modo que os ângulos de incidência e reflexão em relação à tangente são iguais. Esse é o clássico argumento da propriedade refletora da parábola (é a mesma propriedade que faz parabólicas concentrarem fótons/ondas no foco). Assim, podemos afirmar com segurança que a tangente em
bisseta o ângulo entre
e a perpendicular à directriz em
.
Definição geométrica da parábola: um ponto
Intuição curta do porquê isto é verdade (suficiente para usar no exercício): imagine um raio vindo do foco até
Passo 4
Aplicar a propriedade ao nosso caso concreto: determinar as direções envolvidas.\n
- Já achamos
e . Então o segmento é vertical, pois ambas as abscissas são . Assim a reta tem direção vertical (ângulo de ou em relação ao eixo ).\n - A directriz é a reta vertical
. Uma reta perpendicular à directriz é, portanto, horizontal. A perpendicular à directriz que passa por é a reta horizontal (essa é a linha “direção da directriz perpendicular” no ponto ).\n
Logo, os dois segmentos/linhas que o tangente bisseta são: uma vertical () e uma horizontal ( ). O ângulo entre vertical e horizontal é . A tangente bissetando esse ângulo forma, com a horizontal, um ângulo de metade disso, ou seja .
Passo 5
Converter o ângulo bissetado em declividade (coeficiente angular) e obter a equação da reta.\n
Um ângulo de em relação à horizontal tem coeficiente angular
. Portanto a tangente em
tem declive
.\n
A equação da reta tangente em forma ponto-declive é\n
Um ângulo de
A equação da reta tangente em forma ponto-declive é\n
com
e
. Substituindo:\n
Simplificando obtemos a forma reduzida:\n