A elipse
possui um ponto
cuja distância a um dos focos vale 5 . Calcule a distância de
ao outro foco.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
- A elipse dada é
. - Há um ponto
dessa elipse cuja distância a um dos focos vale . - Pergunta: qual é a distância de
ao outro foco?
Informações explícitas que temos do enunciado:
-
e (da equação da elipse). - O valor pedido é a outra distância de
aos focos, sabendo que uma delas é .
Passo 2
Entendendo os parâmetros da elipse e como eles se relacionam (aulas rápidas e intuitivas):
- Em uma elipse na forma padrão
com , chamamos: -
de semi-eixo maior (distância do centro até o vértice sobre o eixo maior), -
de semi-eixo menor, -
da distância do centro até cada foco (os focos ficam em se o eixo maior for o eixo ).
-
- Há uma relação fundamental entre esses parâmetros:
Vou justificar essa fórmula de forma simples e direta: pegue o ponto , que pertence à elipse (é o vértice do eixo menor). As distâncias desse ponto aos dois focos são iguais (por simetria) e valem . Como, por definição geométrica da elipse, a soma das distâncias aos focos é constante para qualquer ponto da elipse e igual a , temos Elevando ao quadrado obtemos , ou seja . Pronto — mostramos de onde vem a fórmula.
Passo 3
Calculemos
,
e
para a elipse dada:
- Da equação
temos - Agora calcule
usando :
Passo 4
Propriedade-chave da elipse que vamos usar (explicação didática):
- Definição geométrica útil: a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos dois focos é constante e igual a
. - Para confirmar rapidamente que a constante é
, observe o vértice direito . As distâncias desse vértice aos focos em são e . A soma é portanto para qualquer ponto da elipse vale Essa é a propriedade que nos permite responder direto ao problema.
Passo 5
Use a propriedade para achar a outra distância:
- Como a soma das distâncias aos dois focos é
, se para um dado ponto uma das distâncias vale , a outra distância satisfaz - Verificação rápida de consistência:
é positiva e menor que , então não há problema geométrico — esse valor é válido.