A elipse
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1
possui um ponto P cuja distância a um dos focos vale 5 . Calcule a distância de P ao outro foco.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • A elipse dada é \displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.
  • Há um ponto P dessa elipse cuja distância a um dos focos vale 5.
  • Pergunta: qual é a distância de P ao outro foco?
Informações explícitas que temos do enunciado:
  • \displaystyle a^{2}=9 e \displaystyle b^{2}=4 (da equação da elipse).
  • O valor pedido é a outra distância de P aos focos, sabendo que uma delas é 5.

Passo 2

Entendendo os parâmetros da elipse e como eles se relacionam (aulas rápidas e intuitivas):
  • Em uma elipse na forma padrão \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a>b, chamamos:
    • \displaystyle a de semi-eixo maior (distância do centro até o vértice sobre o eixo maior),
    • \displaystyle b de semi-eixo menor,
    • \displaystyle c da distância do centro até cada foco (os focos ficam em (\pm c,0) se o eixo maior for o eixo x).
  • Há uma relação fundamental entre esses parâmetros: \displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}.Vou justificar essa fórmula de forma simples e direta: pegue o ponto (0,b), que pertence à elipse (é o vértice do eixo menor). As distâncias desse ponto aos dois focos são iguais (por simetria) e valem \sqrt{c^{2}+b^{2}}. Como, por definição geométrica da elipse, a soma das distâncias aos focos é constante para qualquer ponto da elipse e igual a 2a, temos 2\sqrt{c^{2}+b^{2}}=2a \quad\Rightarrow\quad \sqrt{c^{2}+b^{2}}=a.Elevando ao quadrado obtemos c^{2}+b^{2}=a^{2}, ou seja c^{2}=a^{2}-b^{2}. Pronto — mostramos de onde vem a fórmula.

Passo 3

Calculemos a, b e c para a elipse dada:
  • Da equação \displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 temos \displaystyle a^{2}=9\Rightarrow a=3,\qquad b^{2}=4\Rightarrow b=2.
  • Agora calcule c usando \displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}: \displaystyle c^{2}=9-4=5 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{5}.

Passo 4

Propriedade-chave da elipse que vamos usar (explicação didática):
  • Definição geométrica útil: a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos dois focos é constante e igual a 2a.
  • Para confirmar rapidamente que a constante é 2a, observe o vértice direito (a,0)=(3,0). As distâncias desse vértice aos focos em (\pm c,0) são |3-c| e |3+c|. A soma é |3-c|+|3+c|=(3-c)+(3+c)=6=2a,portanto para qualquer ponto P da elipse vale \text{dist}(P,\text{foco}_1)+\text{dist}(P,\text{foco}_2)=2a=6.Essa é a propriedade que nos permite responder direto ao problema.

Passo 5

Use a propriedade para achar a outra distância:
  • Como a soma das distâncias aos dois focos é 2a=6, se para um dado ponto P uma das distâncias vale 5, a outra distância d satisfaz 5+d=6 \quad\Rightarrow\quad d=6-5=1.
  • Verificação rápida de consistência: d=1 é positiva e menor que 2a, então não há problema geométrico — esse valor é válido.

Resposta

\,1

Exercícios relacionados