Determine a equação da cônica nos seguintes casos:
Cônica com vértices A_{1}(1,8), A_{2}(1,4), excentricidade e=\frac{2}{3}.
Passo 1
O enunciado pede a equação da cônica que é uma elipse cujos vértices são A_{1}(1,8) e A_{2}(1,4) e cuja excentricidade é e=\tfrac{2}{3}. Para resolver, vamos:
– determinar o centro como ponto médio de A_{1}A_{2};
– obter o semi-eixo maior a a partir da distância do centro a um vértice;
– usar e=\tfrac{c}{a} para achar c, que é a distância do centro a cada foco;
– calcular o semi-eixo menor b por b^{2}=a^{2}-c^{2};
– escrever a equação padrão da elipse com eixo maior vertical.
Passo 2
O centro (h,k) da elipse é o ponto médio de A_{1}A_{2}:
h=\frac{1+1}{2}=1,\quad k=\frac{8+4}{2}=6.
Como os vértices estão sobre a reta x=1, o eixo maior é vertical.
Passo 3
A distância do centro a um vértice é
a=\bigl|8-6\bigr|=2.
Pela excentricidade e=\frac{c}{a}=\tfrac{2}{3}, vem