Determine a equação da cônica nos seguintes casos:
Cônica com vértices A_{1}(1,8), A_{2}(1,4), excentricidade e=\frac{2}{3}.

Passo 1

O enunciado pede a equação da cônica que é uma elipse cujos vértices são A_{1}(1,8) e A_{2}(1,4) e cuja excentricidade é e=\tfrac{2}{3}. Para resolver, vamos:
– determinar o centro como ponto médio de A_{1}A_{2};
– obter o semi-eixo maior a a partir da distância do centro a um vértice;
– usar e=\tfrac{c}{a} para achar c, que é a distância do centro a cada foco;
– calcular o semi-eixo menor b por b^{2}=a^{2}-c^{2};
– escrever a equação padrão da elipse com eixo maior vertical.

Passo 2

O centro (h,k) da elipse é o ponto médio de A_{1}A_{2}:
h=\frac{1+1}{2}=1,\quad k=\frac{8+4}{2}=6.
Como os vértices estão sobre a reta x=1, o eixo maior é vertical.

Passo 3

A distância do centro a um vértice é
a=\bigl|8-6\bigr|=2.
Pela excentricidade e=\frac{c}{a}=\tfrac{2}{3}, vem
c=e\,a=\tfrac{2}{3}\times2=\tfrac{4}{3}.

Passo 4

O semi-eixo menor b satisfaz
b^{2}=a^{2}-c^{2}=4-\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{2} =4-\tfrac{16}{9} =\tfrac{36}{9}-\tfrac{16}{9} =\tfrac{20}{9}.

Passo 5

A equação padrão de uma elipse com centro em (h,k), eixo maior vertical e parâmetros a e b é
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1.
Substituindo h=1, k=6, a^{2}=4 e b^{2}=\tfrac{20}{9}, obtemos
\frac{(x-1)^{2}}{\tfrac{20}{9}} \;+\;\frac{(y-6)^{2}}{4} =1.

Resposta

\frac{(x-1)^{2}}{\tfrac{20}{9}} \;+\;\frac{(y-6)^{2}}{4} =1.

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