Sejam os conjuntos: S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-y+3 z=0\right\} e W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+\right. y-z=0\}, subespaços de \mathbb{R}^{3}.
\sqrt{ } a) (2,5 pontos) Determine o subespaço S \cap W. Mostre todas as suas contas.
\sqrt{ } b) ( 2,5 pontos) Exiba uma base para S \cap W. Justifique sua reposta.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathbb{R}^3 por equações lineares:
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x - y + 3z = 0\}, \quad W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}.
Para encontrar S\cap W, basta resolver simultaneamente o sistema
\begin{cases} x - y + 3z = 0,\\\ x + y - z = 0. \end{cases}

Passo 2

Da primeira equação isolamos x:
x - y + 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = y - 3z.

Passo 3

Substituímos x = y - 3z na segunda equação:
(y - 3z) + y - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y - 4z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 2z.
Então x = y - 3z = 2z - 3z = -z.

Passo 4

Parametrizando pela variável livre z = t\in\mathbb{R}, obtemos
(x,y,z) = (-t,\,2t,\,t) = t\,(-1,2,1).
Logo
S\cap W = \{\,t(-1,2,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Como todos os vetores de S\cap W são múltiplos de (-1,2,1) e (-1,2,1)\neq(0,0,0), o conjunto
\{(-1,2,1)\}
é uma base de S\cap W.

Resposta

(a) S\cap W = \{\,t(-1,2,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.
(b) Uma base para S\cap W é \{(-1,2,1)\}.

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