Sejam os vetores
e
. Responda as seguintes questões:
a)
pontos
Todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear de
e
? Justifique sua resposta.
b) ( 2,0 pontos) O conjunto
é LI em
? Justifique sua resposta.
c) ( 1,0 pontos) Por fim, conclua se o conjunto
é uma base de
. Justifique sua resposta.
a)
b) ( 2,0 pontos) O conjunto
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
em
e pede:
a) verificar se gera
(span);
b) verificar se é linearmente independente;
c) concluir se é base de . Para isso, vamos resolver sistemas lineares que mostram geração e independência.
a) verificar se
b) verificar se
c) concluir se é base de
Passo 2
Para ver se todo
pode ser escrito como combinação linear de
e
, buscamos
tais que
Escrevendo as coordenadas:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Como para qualquer
esses
existem em
, temos
.
Passo 3
Para testar independência linear, consideramos
isto é,
Da segunda equação segue
. Então da primeira obtemos
, logo
. Como a única solução é
, o conjunto é LI.
Passo 4
Em
, qualquer conjunto de dois vetores que é LI e gera todo o espaço é uma base. Como mostramos ambos,
é base de
.
Resposta
a) Sim. Porque para todo
existem
e
tais que
.
b) Sim. Pois implica
e
.
c) Sim. É base de pois tem dois vetores LI que geram
.
b) Sim. Pois
c) Sim. É base de