Sejam os vetores v_{1}=(2,-1) e v_{2}=(3,0). Responda as seguintes questões:
a) (2,0 pontos ) Todo vetor de \mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear de v_{1} e v_{2} ? Justifique sua resposta.
b) ( 2,0 pontos) O conjunto \left\{v_{1}, v_{2}\right\} é LI em \mathbb{R}^{2} ? Justifique sua resposta.
\sqrt{ } c) ( 1,0 pontos) Por fim, conclua se o conjunto \left\{v_{1}, v_{2}\right\} é uma base de \mathbb{R}^{2}. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá os vetores v_{1}=(2,-1) e v_{2}=(3,0) em \mathbb{R}^2 e pede:
a) verificar se \{v_{1},v_{2}\} gera \mathbb{R}^2 (span);
b) verificar se \{v_{1},v_{2}\} é linearmente independente;
c) concluir se é base de \mathbb{R}^2. Para isso, vamos resolver sistemas lineares que mostram geração e independência.

Passo 2

Para ver se todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear de v_1 e v_2, buscamos c_1,c_2 tais que
c_1\,v_1 + c_2\,v_2 = (x,y).
Escrevendo as coordenadas:
2c_1 + 3c_2 = x,
-\,c_1 = y.
Da segunda equação vem c_1 = -y. Substituindo na primeira:
2(-y) + 3c_2 = x \quad\Longrightarrow\quad c_2 = \frac{x + 2y}{3}.
Como para qualquer (x,y) esses c_1,c_2 existem em \mathbb{R}, temos \operatorname{span}\{v_1,v_2\}=\mathbb{R}^2.

Passo 3

Para testar independência linear, consideramos
c_1\,v_1 + c_2\,v_2 = (0,0),
isto é,
2c_1 + 3c_2 = 0,
-\,c_1 = 0.
Da segunda equação segue c_1=0. Então da primeira obtemos 3c_2=0, logo c_2=0. Como a única solução é c_1=c_2=0, o conjunto é LI.

Passo 4

Em \mathbb{R}^2, qualquer conjunto de dois vetores que é LI e gera todo o espaço é uma base. Como mostramos ambos, \{v_1,v_2\} é base de \mathbb{R}^2.

Resposta

a) Sim. Porque para todo (x,y) existem \displaystyle c_1=-y e \displaystyle c_2=\frac{x+2y}{3} tais que c_1v_1+c_2v_2=(x,y).
b) Sim. Pois c_1v_1+c_2v_2=(0,0) implica c_1=0 e c_2=0.
c) Sim. É base de \mathbb{R}^2 pois tem dois vetores LI que geram \mathbb{R}^2.

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