Determine a equação da curva tal que a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer (x, y) da curva é igual à metade da inclinação da reta que liga a origem ao ponto de tangência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a equação de uma curva onde a inclinação da reta tangente em qualquer ponto (x, y) é igual à metade da inclinação da reta que liga a origem (0,0) a esse ponto. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas e inclinações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a inclinação da reta que liga a origem ao ponto (x, y). A inclinação dessa reta é dada pela razão yx. Ou seja, se você traçar uma linha desde (0,0) até (x,y), o “degrau” que subimos é y e o “espaço” que avançamos é x, então a inclinação é yx.

Passo 3

Agora, a inclinação da reta tangente à curva em (x, y) é a derivada dydx da função que representa a curva. De acordo com o enunciado, essa inclinação da tangente deve ser igual à metade da inclinação da reta que liga a origem ao ponto. Então, podemos escrever:
dydx = 12 cdot yx

Passo 4

A equação dydx = 12 cdot yx é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis. Vamos reorganizar para separar y e dy de um lado e x e dx do outro:
dyy = 12 cdot dxx

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a função y(x):
integral 1y , dy = 12 integral 1x , dx
Integrando, obtemos:
ln |y| = 12 ln |x| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para simplificar a expressão, podemos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar o coeficiente fracionário:
2 ln |y| = ln |x| + 2C
Como 2C é apenas outra constante, podemos chamá-la de C'. Então:
2 ln |y| = ln |x| + C'

Passo 7

Agora, vamos usar propriedades dos logaritmos para simplificar:
ln |y|^2 = ln |x| + C'
Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|y|^2 = e^ln |x| + C' = |x| cdot e^C'
Como e^C' é uma constante positiva, podemos chamá-la de k:
y^2 = kx

Passo 8

Finalmente, resolvendo para y, temos:
y = raizkx
Podemos também escrever a constante como C para simplificar:
y = C raizx

Resposta

A equação da curva é y = C, raizx, onde C é uma constante real.

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