Determine a equação da curva tal que a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer
da curva é igual à metade da inclinação da reta que liga a origem ao ponto de tangência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a equação de uma curva onde a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
é igual à metade da inclinação da reta que liga a origem
a esse ponto. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas e inclinações de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a inclinação da reta que liga a origem ao ponto
. A inclinação dessa reta é dada pela razão
. Ou seja, se você traçar uma linha desde
até
, o “degrau” que subimos é
e o “espaço” que avançamos é
, então a inclinação é
.
Passo 3
Agora, a inclinação da reta tangente à curva em
é a derivada
da função que representa a curva. De acordo com o enunciado, essa inclinação da tangente deve ser igual à metade da inclinação da reta que liga a origem ao ponto. Então, podemos escrever:
Passo 4
A equação
é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis. Vamos reorganizar para separar
e
de um lado e
e
do outro:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a função
:
Integrando, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para simplificar a expressão, podemos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar o coeficiente fracionário:
Como
é apenas outra constante, podemos chamá-la de
. Então:
Passo 7
Agora, vamos usar propriedades dos logaritmos para simplificar:
Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como
é uma constante positiva, podemos chamá-la de
:
Passo 8
Finalmente, resolvendo para
, temos:
Podemos também escrever a constante como
para simplificar:
Resposta
A equação da curva é
, onde
é uma constante real.