Determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.

Passo 1

A equação que temos é 3t = e^t dydt + y ln t. O objetivo é identificar se ela é uma equação diferencial separável, linear, nenhuma ou ambas. Vamos usar a teoria de equações lineares de 1ª ordem e de equações separáveis.

Passo 2

Para ver se é linear, primeiro colocamos no formato padrão dydt + P(t),y = Q(t). Dividindo toda a equação por e^t, obtemos:
dydt + ln te^t,y = 3te^t
Aqui identificamos P(t)=ln te^t e Q(t)=3te^t, portanto é uma equação diferencial linear de 1ª ordem.

Passo 3

Agora, para verificar separabilidade, tentamos escrever na forma g(y),dy = f(t),dt. Isolando dydt temos:
dydt = 3te^t - ln te^t,y
O lado direito é soma de uma função só de t com uma função que mistura t e y, então não dá para escrever como produto de uma função de y por uma função de t. Logo, não é separável.

Passo 4

Concluindo, a equação não satisfaz a forma de separável mas satisfaz a forma de linear de 1ª ordem.

Resposta

A equação é linear.

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