Sejam
e
soluções de
no intervalo
com
e
. Mostre que
e
são linearmente independentes no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que as soluções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $ da equação diferencial
são linearmente independentes em todo o intervalo $ -\infty < t < \infty $. Isso envolve conceitos de soluções de equações diferenciais e independência linear. Para resolver isso, vamos usar o Wronskiano, que nos ajuda a verificar se duas funções são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. Para duas funções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $, o Wronskiano $ W(t) $ é definido como:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as soluções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular o Wronskiano no ponto inicial $ t = 0 $ usando as condições iniciais fornecidas:
Substituindo na fórmula do Wronskiano:
Passo 4
Obtivemos que $ W(0) = 2 $, que é diferente de zero. Isso significa que, no ponto $ t = 0 $, as soluções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $ são linearmente independentes.
Passo 5
Além disso, sabemos que para equações diferenciais lineares de segunda ordem, se o Wronskiano for não nulo em um ponto, ele será não nulo em todo o intervalo onde as funções são soluções. Portanto, como $ W(0) = 2 \neq 0 $, concluímos que $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $ são linearmente independentes para todo $ -\infty < t < \infty $.
Resposta
As soluções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $ são linearmente independentes no intervalo $ -\infty < t < \infty $.