Sejam y1(t) e y2(t) soluções de ddoty+a(t) doty+b(t) y=0 no intervalo -infty com y1(0)=3, doty1(0)=1, y2(0)=-1 e doty2(0)=1 / 3. Mostre que y1(t) e y2(t) são linearmente independentes no intervalo -infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que as soluções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $ da equação diferencial y1(t) são linearmente independentes em todo o intervalo $ -\infty < t < \infty $. Isso envolve conceitos de soluções de equações diferenciais e independência linear. Para resolver isso, vamos usar o Wronskiano, que nos ajuda a verificar se duas funções são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. Para duas funções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $, o Wronskiano $ W(t) $ é definido como:
y1(t)
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as soluções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular o Wronskiano no ponto inicial $ t = 0 $ usando as condições iniciais fornecidas:
t = 0
Substituindo na fórmula do Wronskiano:
y1(0) = 3, doty1(0) = 1, y2(0) = -1, doty2(0) = 13

Passo 4

Obtivemos que $ W(0) = 2 $, que é diferente de zero. Isso significa que, no ponto $ t = 0 $, as soluções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $ são linearmente independentes.

Passo 5

Além disso, sabemos que para equações diferenciais lineares de segunda ordem, se o Wronskiano for não nulo em um ponto, ele será não nulo em todo o intervalo onde as funções são soluções. Portanto, como $ W(0) = 2 \neq 0 $, concluímos que $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $ são linearmente independentes para todo $ -\infty < t < \infty $.

Resposta

As soluções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $ são linearmente independentes no intervalo $ -\infty < t < \infty $.

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