Determine todas as soluções da equação diferencial
t y^prime prime+(1+t) y^prime-y=0
que são funções de 1^circ grau, ou seja, da forma y(t)=a t+b, para a e b constantes.

Passo 1

A equação diferencial dada é
t,y''+(1+t),y'-y=0
Queremos achar todas as soluções lineares da forma y(t)=a t+b. Para isso, vamos precisar das derivadas de uma função linear e de fazer uma substituição na ODE para obter uma relação algébrica entre a e b.

Passo 2

Para y(t)=a t+b, as derivadas são
y'(t)=a
y''(t)=0

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original, temos
tcdot 0+(1+t)cdot a-(a t+b)=0
Isso simplifica para
a + a t - a t - b = 0
ou seja
a - b = 0 .

Passo 4

Da relação a - b = 0 segue que b = a. Logo, todas as soluções lineares são
y(t)=a,t+a = a,(t+1),
onde a é uma constante arbitrária.

Resposta

As soluções de primeira grau são
y(t)=C,(t+1),
com C constante real.

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