Determine se a equação diferencial apresentada é homogênea. Se for readva-a.
4.46 y^{\prime}=\frac{y-x}{x}
4.46 y^{\prime}=\frac{y-x}{x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar se ela é homogênea. Se for, o enunciado pede que a reduzamos (ou seja, que façamos a substituição clássica para resolver/transformar a equação). Informações relevantes: há divisão por
, portanto
. A pergunta explícita é: a equação é homogênea? Se sim, reduzir e resolver.
Passo 2
O que significa ser homogênea aqui (passo-a-passo didático):
- Para uma equação de primeira ordem no formato
, dizemos que ela é homogênea se a função do lado direito depende apenas da razão . Ou seja, se existe uma função tal que
- A razão é: se
depende só de , então ao fazer a substituição (onde é função de ) a equação vira uma equação em e mais simples, normalmente separável.
Passo 3
Verificação direta no nosso caso:
Reescrevemos o lado direito
Reescrevemos o lado direito
Aqui a expressão depende apenas de
, pois é igual a
. Portanto a equação é homogênea (sim — depende só de
).
Passo 4
Aplicamos a substituição padrão para equações homogêneas:
- Ponha
, onde . - Calcule
usando regra do produto:
- Substitua na equação original. O lado direito em termos de
é
Assim a equação fica
Passo 5
Simplifique e resolva a equação resultante:
- Subtraindo
dos dois lados obtemos
- Isolando
:
- Esta é uma equação separável e simples; integramos ambos os lados:
onde
é constante arbitrária de integração. Observação: usamos
porque a primitiva de
é
.
Passo 6
Volte à variável
:
- Lembrando que
, temos
- Isto é a solução geral da equação diferencial, válida para
(como já observado porque havia divisão por ).
Resposta
Sim.