Determine se a equação diferencial apresentada é homogênea. Se for readva-a.
4.46 y^{\prime}=\frac{y-x}{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{y-x}{x}
e pede para determinar se ela é homogênea. Se for, o enunciado pede que a reduzamos (ou seja, que façamos a substituição clássica para resolver/transformar a equação). Informações relevantes: há divisão por x, portanto x\neq0. A pergunta explícita é: a equação é homogênea? Se sim, reduzir e resolver.

Passo 2

O que significa ser homogênea aqui (passo-a-passo didático):
  • Para uma equação de primeira ordem no formato y'=f(x,y), dizemos que ela é homogênea se a função do lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Ou seja, se existe uma função g tal que
f(x,y)=g\!\left(\frac{y}{x}\right).
  • A razão é: se f(x,y) depende só de \dfrac{y}{x}, então ao fazer a substituição y=ux (onde u é função de x) a equação vira uma equação em u e x mais simples, normalmente separável.

Passo 3

Verificação direta no nosso caso:
Reescrevemos o lado direito
\frac{y-x}{x}=\frac{y}{x}-1.
Aqui a expressão depende apenas de \dfrac{y}{x}, pois é igual a \left(\dfrac{y}{x}\right)-1. Portanto a equação é homogênea (sim — depende só de y/x).

Passo 4

Aplicamos a substituição padrão para equações homogêneas:
  • Ponha \displaystyle y=ux, onde u=u(x).
  • Calcule y' usando regra do produto:
y'=\frac{d}{dx}(ux)=u+x\frac{du}{dx}.
  • Substitua na equação original. O lado direito em termos de u é
\frac{y}{x}-1=u-1.
Assim a equação fica
u+x\frac{du}{dx}=u-1.

Passo 5

Simplifique e resolva a equação resultante:
  • Subtraindo u dos dois lados obtemos
x\frac{du}{dx}=-1.
  • Isolando \dfrac{du}{dx}:
\frac{du}{dx}=-\frac{1}{x}.
  • Esta é uma equação separável e simples; integramos ambos os lados:
\int du = \int -\frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad u=-\ln|x|+C,
onde C é constante arbitrária de integração. Observação: usamos \ln|x| porque a primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x|.

Passo 6

Volte à variável y:
  • Lembrando que y=ux, temos
y=x\left(-\ln|x|+C\right)=Cx - x\ln|x|.
  • Isto é a solução geral da equação diferencial, válida para x\neq0 (como já observado porque havia divisão por x).

Resposta

Sim.
y=Cx - x\ln|x|,\quad x\neq0

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