Calcule os limites abaixo, ou mostre por que não existem. Escolha apenas três entre os quatro itens abaixo para resolver.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações relevantes dadas:
O ponto de interesse é
. O objetivo é determinar o valor do limite quando
se aproxima de
, ou provar que o limite não existe.
Passo 2
Observação inicial sobre o tipo de indeterminação: ao avaliar diretamente em
,
e
portanto temos uma forma
, que é indeterminada. Isto significa que precisamos manipular a expressão para remover essa indeterminação e encontrar o limite.
Passo 3
Para simplificar a notação e tornar a expressão radial (ou seja, depender só da soma dos quadrados), defino
Note que
para todo
e que
implica
. Reescrevendo o limite em função de
obtemos o limite unidimensional
Trabalhar com esta forma é mais simples e suficiente, porque o valor do quociente depende apenas de
.
Passo 4
Vamos eliminar a indeterminação racionalizando o denominador: multiplicamos numerador e denominador pela conjugada
. Faço as contas passo a passo:
No denominador temos diferença de quadrados:
Portanto, para
,
A simplificação é válida para todos os pontos próximos à origem com
(ou seja, exceto exatamente na origem), o que é suficiente para analisar o limite.
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
da expressão simplificada. Como a função
é contínua em
, temos
Portanto a expressão original, ao se aproximar da origem por qualquer caminho (já que reduzimos a uma expressão que depende só de
), tende para
.
Passo 6
Comentário final e verificação por caminhos simples: por exemplo, tomando
e
obtemos a mesma conta e o mesmo resultado
. A simplificação algébrica garantiu que não há dependência de caminho — o limite existe e é único — pois transformamos a expressão em uma função de
cuja limite é bem definido.