Calcule os limites abaixo, ou mostre por que não existem. Escolha apenas três entre os quatro itens abaixo para resolver.
(a) (0.8 p t) \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+9}-3}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+9}-3}.
Informações relevantes dadas:
\text{numerador } = x^{2}+y^{2}+z^{2},
\text{denominador } = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+9}-3.
O ponto de interesse é (0,0,0). O objetivo é determinar o valor do limite quando (x,y,z) se aproxima de (0,0,0), ou provar que o limite não existe.

Passo 2

Observação inicial sobre o tipo de indeterminação: ao avaliar diretamente em (0,0,0),
x^{2}+y^{2}+z^{2}\to 0
e
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+9}-3 \to \sqrt{9}-3 = 0,
portanto temos uma forma 0/0, que é indeterminada. Isto significa que precisamos manipular a expressão para remover essa indeterminação e encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar a notação e tornar a expressão radial (ou seja, depender só da soma dos quadrados), defino
t = x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Note que t\ge 0 para todo (x,y,z) e que (x,y,z)\to(0,0,0) implica t\to 0^{+}. Reescrevendo o limite em função de t obtemos o limite unidimensional
\lim_{t\to 0^{+}} \frac{t}{\sqrt{t+9}-3}.
Trabalhar com esta forma é mais simples e suficiente, porque o valor do quociente depende apenas de t.

Passo 4

Vamos eliminar a indeterminação racionalizando o denominador: multiplicamos numerador e denominador pela conjugada \sqrt{t+9}+3. Faço as contas passo a passo:
\frac{t}{\sqrt{t+9}-3}\cdot\frac{\sqrt{t+9}+3}{\sqrt{t+9}+3}=\frac{t\bigl(\sqrt{t+9}+3\bigr)}{(\sqrt{t+9}-3)(\sqrt{t+9}+3)}.
No denominador temos diferença de quadrados:
(\sqrt{t+9})^{2}-3^{2}=t+9-9=t.
Portanto, para t\neq 0,
\frac{t}{\sqrt{t+9}-3}=\frac{t\bigl(\sqrt{t+9}+3\bigr)}{t}=\sqrt{t+9}+3.
A simplificação é válida para todos os pontos próximos à origem com t>0 (ou seja, exceto exatamente na origem), o que é suficiente para analisar o limite.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando t\to 0^{+} da expressão simplificada. Como a função \sqrt{\cdot} é contínua em 9, temos
\lim_{t\to 0^{+}} \bigl(\sqrt{t+9}+3\bigr)=\sqrt{9}+3=3+3=6.
Portanto a expressão original, ao se aproximar da origem por qualquer caminho (já que reduzimos a uma expressão que depende só de t), tende para 6.

Passo 6

Comentário final e verificação por caminhos simples: por exemplo, tomando y=z=0 e x\to 0 obtemos a mesma conta e o mesmo resultado 6. A simplificação algébrica garantiu que não há dependência de caminho — o limite existe e é único — pois transformamos a expressão em uma função de t=x^{2}+y^{2}+z^{2} cuja limite é bem definido.

Resposta

\;6\;

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