Questão 3. Resolva os itens abaixo, considerando que f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, e que x(r, s)=r e^{s}, y(r, s)=s e^{r} e z(r, s)=e^{x y}. Considere também que P=(0,2) nas coordenadas r e s respectivamente.
(a) ( 0.6 pt.) Calcule o gradiente de f com respeito as variáveis x, y e z.
(b) ( 0.9 p t.) Calcule x_{r}, x_{s}, y_{r}, y_{s}, z_{r} e z_{s} com respeito às variáveis r e s.
(c) ( 0.7 pt.) Qual é o gradiente de f com respeito as variáveis r e s no ponto P.
(d) ( 0.3 p t ) Qual é a direção com respeito as variáveis r e s em que f admite maior taxa de variação no ponto P ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
e as parametrizações
x(r,s)=r e^{s},\quad y(r,s)=s e^{r},\quad z(r,s)=e^{x y}.
O ponto pedido é P=(0,2) nas coordenadas (r,s). As perguntas são:
(a) calcular o gradiente de f em relação às variáveis x,y,z (ou seja, \nabla_{x,y,z} f);
(b) calcular x_{r},x_{s},y_{r},y_{s},z_{r},z_{s};
(c) calcular o gradiente de f em relação às variáveis r,s no ponto P (ou seja, \nabla_{r,s} f(P)=(f_{r}(P),f_{s}(P)));
(d) obter a direção (no espaço de variáveis r,s) de maior taxa de variação em P (normalmente o vetor gradiente unitário em P).
Não começarei a resolver aqui; só organizei os dados e o que é pedido.

Passo 2

(a) Vamos calcular \nabla_{x,y,z} f. Primeiro, escrevo f de forma conveniente:
f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}.
Regra: se g(u)=u^{1/2} então g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Aplicando a derivada parcial em relação a x, tratando y,z como constantes,
f_{x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Analogamente,
f_{y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\qquad f_{z}=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Portanto o gradiente é
\nabla_{x,y,z} f = \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\;\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\;\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right).
Explicação curta: cada componente é a razão da coordenada pelo comprimento \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} — é intuitivo porque f é justamente a distância ao origem.

Passo 3

(b) Calcular as derivadas parciais das parametrizações x(r,s),y(r,s),z(r,s).
Para x(r,s)=r e^{s}:
x_{r}=\frac{\partial}{\partial r}(r e^{s})=e^{s},
x_{s}=\frac{\partial}{\partial s}(r e^{s})=r e^{s}.
Para y(r,s)=s e^{r}:
y_{r}=\frac{\partial}{\partial r}(s e^{r})=s e^{r},
y_{s}=\frac{\partial}{\partial s}(s e^{r})=e^{r}.
Agora z(r,s)=e^{x y} onde x=x(r,s) e y=y(r,s). Aqui usamos a regra da cadeia: se z=e^{u} com u=x y, então z_{r}=e^{u}\cdot u_{r} e u_{r}=(x y)_{r}=x_{r}y + x y_{r}. Assim
z_{r}=e^{x y}\big(x_{r}y + x y_{r}\big).
Analogamente
z_{s}=e^{x y}\big(x_{s}y + x y_{s}\big).
Isso conclui as expressões simbólicas pedidas em (b).

Passo 4

Antes de avaliar os itens no ponto P, calculemos as coordenadas x,y,z no ponto P=(r,s)=(0,2) pois serão úteis:
x(0,2)=0\cdot e^{2}=0,
y(0,2)=2\cdot e^{0}=2,
z(0,2)=e^{x y}=e^{0\cdot 2}=e^{0}=1.
Então no ponto P temos (x,y,z)=(0,2,1).

Passo 5

Agora avalio as derivadas encontradas em (b) no ponto P.
Das fórmulas de x_{r},x_{s},y_{r},y_{s}:
x_{r}(0,2)=e^{s}\big|_{s=2}=e^{2},
x_{s}(0,2)=r e^{s}\big|_{(0,2)}=0\cdot e^{2}=0,
y_{r}(0,2)=s e^{r}\big|_{(0,2)}=2\cdot e^{0}=2,
y_{s}(0,2)=e^{r}\big|_{r=0}=e^{0}=1.
Agora z_{r} e z_{s} no ponto P. Lembremos que e^{x y}\big|_{P}=e^{0\cdot2}=1. Usando as expressões
z_{r}=e^{x y}\big(x_{r}y + x y_{r}\big),
no ponto P
z_{r}(0,2)=1\cdot\big(x_{r}(0,2)\cdot y(0,2) + x(0,2)\cdot y_{r}(0,2)\big) = e^{2}\cdot 2 + 0\cdot 2 = 2e^{2}.
E
z_{s}=e^{x y}\big(x_{s}y + x y_{s}\big),
no ponto P
z_{s}(0,2)=1\cdot\big(0\cdot 2 + 0\cdot 1\big)=0.
Resumindo (valores no ponto P):
x_{r}=e^{2},\quad x_{s}=0,\quad y_{r}=2,\quad y_{s}=1,\quad z_{r}=2e^{2},\quad z_{s}=0.

Passo 6

(c) Calcular o gradiente de f em relação a r,s no ponto P. Primeiro usamos a regra da cadeia para derivadas parciais de f(r,s)=f(x(r,s),y(r,s),z(r,s)):
f_{r}=f_{x}x_{r}+f_{y}y_{r}+f_{z}z_{r},
f_{s}=f_{x}x_{s}+f_{y}y_{s}+f_{z}z_{s}.
Precisamos dos f_{x},f_{y},f_{z} avaliados em (x,y,z)=(0,2,1). Do Passo 2, com \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} temos
f_{x}=\frac{x}{\rho},\; f_{y}=\frac{y}{\rho},\; f_{z}=\frac{z}{\rho}.
No ponto P, \rho=\sqrt{0^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}. Assim
f_{x}(P)=\frac{0}{\sqrt{5}}=0,\quad f_{y}(P)=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad f_{z}(P)=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Agora substituímos nas fórmulas de f_{r},f_{s} usando os valores de x_{r},\dots,z_{s} do Passo 5:
f_{r}(P)=0\cdot x_{r}+ \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot y_{r} + \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot z_{r} = \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot 2 + \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot 2e^{2}.
Simplificando numerador comum:
f_{r}(P)=\frac{4 + 2e^{2}}{\sqrt{5}}=\frac{2(2+e^{2})}{\sqrt{5}}.
Para f_{s}:
f_{s}(P)=0\cdot x_{s}+ \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot y_{s} + \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot z_{s} = \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot 0 = \frac{2}{\sqrt{5}}.
Portanto o gradiente em (r,s) no ponto P é
\nabla_{r,s} f(P)=\left(\frac{4+2e^{2}}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\right).

Passo 7

(d) A direção de maior taxa de variação de f em termos das variáveis r,s no ponto P é a direção do vetor gradiente \nabla_{r,s} f(P). Se for pedida a direção unitária (comprimento 1), dividimos o gradiente pela sua norma.
O gradiente do Passo 6 pode ser fatorado:
\nabla_{r,s} f(P)=\frac{2}{\sqrt{5}}\big(2+e^{2},\;1\big).
A norma desse vetor é
\|\nabla_{r,s} f(P)\|=\frac{2}{\sqrt{5}}\sqrt{(2+e^{2})^{2}+1}.
Assim o vetor unitário na direção de máxima variação é
\mathbf{u}=\frac{\nabla_{r,s} f(P)}{\|\nabla_{r,s} f(P)\|} =\frac{(2+e^{2},\;1)}{\sqrt{(2+e^{2})^{2}+1}}.
Observação: multiplicar o gradiente por qualquer constante positiva não altera a direção. Aqui apresentei a forma unitária porque costuma ser o que se pede quando se pergunta “qual é a direção”.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla_{x,y,z} f=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\;\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\;\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)\n
(b) \displaystyle x_{r}=e^{s},\;x_{s}=r e^{s},\;y_{r}=s e^{r},\;y_{s}=e^{r},\;z_{r}=e^{x y}(x_{r}y+x y_{r}),\;z_{s}=e^{x y}(x_{s}y+x y_{s})\n
(Valores em P=(0,2)😃 \displaystyle x_{r}=e^{2},\;x_{s}=0,\;y_{r}=2,\;y_{s}=1,\;z_{r}=2e^{2},\;z_{s}=0\n
(c) \displaystyle \nabla_{r,s} f(P)=\left(\frac{4+2e^{2}}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\n
(d) Direção de maior taxa: vetor gradiente em P; vetor unitário na direção é \displaystyle \frac{(2+e^{2},\;1)}{\sqrt{(2+e^{2})^{2}+1}}

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