Determine se a equação diferencial apresentada é homogênea. Se for readva-a.
4.47 y^{\prime}=\frac{2 y+x}{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{2y+x}{x}
e pede duas coisas: (1) Determine se essa equação é homogênea; (2) Se for, resolva-a. Informação relevante: a equação está escrita em termos de y' (derivada de y em relação a x) e contém divisão por x, então devemos lembrar que x\neq 0.

Passo 2

O que significa “a equação é homogênea”? Vou explicar devagar: considere uma equação da forma
y'=F(x,y).
Dizemos que F é homogênea de grau zero (e a EDO é chamada de homogênea) quando F(tx,ty)=F(x,y) para todo t\neq0. Uma forma prática e muito usada em provas é: F(x,y) é homogênea de grau zero quando pode ser escrita apenas em função da razão \dfrac{y}{x}, isto é, existe uma função f tal que
F(x,y)=f\!\left(\frac{y}{x}\right).
Esse teste é útil porque, quando ocorre, a substituição clássica y=vx (ou v=\dfrac{y}{x}) reduz a equação a uma separável em v e x. Vou aplicar isso aqui.

Passo 3

Identifico a função F da EDO dada:
F(x,y)=\frac{2y+x}{x}.
Agora simplifico:
\frac{2y+x}{x}=\frac{2y}{x}+\frac{x}{x}=2\cdot\frac{y}{x}+1.
Ou seja,
F(x,y)=1+2\cdot\frac{y}{x},
que é claramente uma função que depende apenas de \dfrac{y}{x}. Pelo critério do Passo 2, isso significa que F é homogênea de grau zero e portanto a equação é homogênea. (Lembrete prático: função do tipo a + b\frac{y}{x} já é função de \frac{y}{x}.)

Passo 4

Como é homogênea, uso a substituição padrão y=vx, isto é, defino
v=\frac{y}{x}\quad\text{ou}\quad y=vx.
Agora preciso da derivada y' em termos de v e x. Usando a regra do produto:
y'=\frac{d}{dx}(vx)=v + x\frac{dv}{dx}.
Expliquei: derivada de v(x)\cdot x é v'(x)\cdot x + v(x)\cdot 1, escrevemos v' como \dfrac{dv}{dx}.

Passo 5

Substituo y=vx e y'=v+x\frac{dv}{dx} na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = 1 + 2\cdot\frac{y}{x}.
Mas \dfrac{y}{x}=v, então o lado direito é 1+2v. Assim
v + x\frac{dv}{dx} = 1 + 2v.
Faço álgebra para isolar \dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} = 1 + 2v - v = v + 1.
Logo
\frac{dv}{dx}=\frac{v+1}{x}.

Passo 6

Agora a equação em v e x é separável. Reescrevo separando v e x:
\frac{dv}{v+1}=\frac{dx}{x}.
Explico: separar significa colocar todos os termos com v num lado (junto de dv) e todos os termos com x no outro (junto de dx), o que nos permite integrar ambos os lados.

Passo 7

Integro ambos os lados:
\int \frac{dv}{v+1}=\int \frac{dx}{x}.
A integral do lado esquerdo é \ln|v+1| (pois \int \frac{1}{u}du=\ln|u|) e a do lado direito é \ln|x|. Assim
\ln|v+1|=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Elimino os logaritmos exponenciando:
v+1 = K x,
onde K=e^{C} é outra constante arbitrária positiva/negativa conforme C. Posso escrever
v = Kx - 1.
Lembro que v=\dfrac{y}{x}, então
\frac{y}{x}=Kx-1.
Multiplico por x para obter y:
y = x(Kx -1)=K x^{2} - x.
Renomeando a constante K como C (padrão), a solução geral fica
y = C x^{2} - x,
com C\in\mathbb{R}. Também é importante lembrar que a dedução usou divisão por x, então a solução é válida para x\neq 0.

Passo 9

Verificação rápida (confirmação útil na prova): calcule y' a partir da solução y=Cx^{2}-x:
y'=2C x -1.
Agora o lado direito original é
\frac{2y+x}{x}=\frac{2(Cx^{2}-x)+x}{x}=\frac{2Cx^{2}-2x+x}{x}=2C x -1,
que coincide com y'. Logo a solução está correta.

Resposta

A equação é homogênea.
Solução geral: y=C x^{2}-x, com C\in\mathbb{R} e x\neq 0.

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