Determine se a equação diferencial apresentada é homogênea. Se for readva-a.
4.47 y^{\prime}=\frac{2 y+x}{x}
4.47 y^{\prime}=\frac{2 y+x}{x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (1) Determine se essa equação é homogênea; (2) Se for, resolva-a. Informação relevante: a equação está escrita em termos de
(derivada de
em relação a
) e contém divisão por
, então devemos lembrar que
.
Passo 2
O que significa “a equação é homogênea”? Vou explicar devagar: considere uma equação da forma
Dizemos que
é homogênea de grau zero (e a EDO é chamada de homogênea) quando
para todo
. Uma forma prática e muito usada em provas é:
é homogênea de grau zero quando pode ser escrita apenas em função da razão
, isto é, existe uma função
tal que
Esse teste é útil porque, quando ocorre, a substituição clássica
(ou
) reduz a equação a uma separável em
e
. Vou aplicar isso aqui.
Passo 3
Identifico a função
da EDO dada:
Agora simplifico:
Ou seja,
que é claramente uma função que depende apenas de
. Pelo critério do Passo 2, isso significa que
é homogênea de grau zero e portanto a equação é homogênea. (Lembrete prático: função do tipo
já é função de
.)
Passo 4
Como é homogênea, uso a substituição padrão
, isto é, defino
Agora preciso da derivada
em termos de
e
. Usando a regra do produto:
Expliquei: derivada de
é
, escrevemos
como
.
Passo 5
Substituo
e
na equação original:
Mas
, então o lado direito é
. Assim
Faço álgebra para isolar
:
Logo
Passo 6
Agora a equação em
e
é separável. Reescrevo separando
e
:
Explico: separar significa colocar todos os termos com
num lado (junto de
) e todos os termos com
no outro (junto de
), o que nos permite integrar ambos os lados.
Passo 7
Integro ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
(pois
) e a do lado direito é
. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Elimino os logaritmos exponenciando:
onde
é outra constante arbitrária positiva/negativa conforme
. Posso escrever
Lembro que
, então
Multiplico por
para obter
:
Renomeando a constante
como
(padrão), a solução geral fica
com
. Também é importante lembrar que a dedução usou divisão por
, então a solução é válida para
.
Passo 9
Verificação rápida (confirmação útil na prova): calcule
a partir da solução
:
Agora o lado direito original é
que coincide com
. Logo a solução está correta.
Resposta
A equação é homogênea.
Solução geral: , com
e
.
Solução geral: