Escolha duas das EDO’s abaixo e resolva-as.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos. Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
como função de . - Aparece o quociente
, o que sugere uma dependência homogênea em e . - Devemos cuidar de pontos onde
ou , já que aí a equação pode comportar-se de modo especial.
Passo 2
Primeiro escrevo
para ficar claro:
Enquanto
posso dividir ambos os lados por
. Antes de fazer isso, observo que a presença de
sugere a substituição
(isso é útil quando a EDO depende de
): assim vou tratar separadamente a região onde
e depois checar casos especiais.
Passo 3
Faço a substituição de variável usual para equações homogêneas:
Explico passo a passo:
é a razão
, então
depende de
. Derivando
em relação a
obtenho
Essa fórmula vem da regra do produto: derivada de
é
.
Passo 4
Substituo
e
na equação original (assumindo
):
onde escrevi
para simplificar a notação. Agora desenvolvo os termos:
Vejo que
aparece dos dois lados e cancela-se:
Passo 5
Simplifico a expressão resultante dividindo por
(aqui já estou implicitamente assumindo
):
Isolo
:
Agora faço separação de variáveis: levo termos em
para um lado e em
para o outro:
A separação é possível porque a equação ficou na forma
com
e
; então podemos escrever
.
Passo 6
Integro ambos os lados. Coloco a integral em forma de bloco para ficar claro:
Calculo as integrais:
onde
é a constante de integração. Lembre que
e
.
Passo 7
Volto à variável original usando
. Assim a solução geral (implícita) é
Comentário sobre domínio: já que apareceu
, temos que
. Além disso, o lado esquerdo está no intervalo
, então para uma dada constante
a solução só existe para
tais que
(isso impõe restrições ao domínio da solução implícita). Também lembramos que durante a divisão usamos
, então pontos onde
não pertencem à solução obtida por separação.
Passo 8
Verifico os casos especiais: se
então
e a equação original dá, no lado esquerdo,
enquanto o lado direito é
. Isso exigiria
, impossível para
. Portanto não existem soluções não-triviais com
em pontos
. O ponto
é singular e precisa de análise separada (mas a solução geral obtida é válida para
).