Escolha duas das EDO’s abaixo e resolva-as.
x \cos (y / x) y^{\prime}=y \cos (y / x)+x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)y'=y\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)+x
e pede que a resolvamos. Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é y como função de x.
  • Aparece o quociente \frac{y}{x}, o que sugere uma dependência homogênea em y e x.
  • Devemos cuidar de pontos onde \cos\!\left(\frac{y}{x}\right)=0 ou x=0, já que aí a equação pode comportar-se de modo especial.

Passo 2

Primeiro escrevo y'=\dfrac{dy}{dx} para ficar claro:
x\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)\frac{dy}{dx}=y\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)+x.
Enquanto \cos\!\left(\frac{y}{x}\right)\neq 0 posso dividir ambos os lados por \cos\!\left(\frac{y}{x}\right). Antes de fazer isso, observo que a presença de \frac{y}{x} sugere a substituição y= vx (isso é útil quando a EDO depende de y/x): assim vou tratar separadamente a região onde \cos\!\left(\frac{y}{x}\right)\neq 0 e depois checar casos especiais.

Passo 3

Faço a substituição de variável usual para equações homogêneas:
y=vx\quad\text{onde}\quad v=v(x).
Explico passo a passo: v é a razão \dfrac{y}{x}, então v depende de x. Derivando y=vx em relação a x obtenho
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Essa fórmula vem da regra do produto: derivada de v(x)\cdot x é v'(x)\cdot x + v(x)\cdot 1.

Passo 4

Substituo y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} na equação original (assumindo \cos(v)\neq 0):
x\cos(v)\bigg(v+x\frac{dv}{dx}\bigg)=vx\cos(v)+x,
onde escrevi v=\dfrac{y}{x} para simplificar a notação. Agora desenvolvo os termos:
xv\cos(v)+x^2\cos(v)\frac{dv}{dx}=vx\cos(v)+x.
Vejo que xv\cos(v) aparece dos dois lados e cancela-se:
x^2\cos(v)\frac{dv}{dx}=x.

Passo 5

Simplifico a expressão resultante dividindo por x (aqui já estou implicitamente assumindo x\neq 0):
x\cos(v)\frac{dv}{dx}=1.
Isolo \dfrac{dv}{dx}:
\frac{dv}{dx}=\frac{1}{x\cos(v)}=\frac{\operatorname{sec}(v)}{x}.
Agora faço separação de variáveis: levo termos em v para um lado e em x para o outro:
\cos(v)\,dv=\frac{dx}{x}.
A separação é possível porque a equação ficou na forma \dfrac{dv}{dx}=g(v)h(x) com g(v)=\operatorname{sec}(v) e h(x)=1/x; então podemos escrever g(v)^{-1}dv=h(x)dx.

Passo 6

Integro ambos os lados. Coloco a integral em forma de bloco para ficar claro:
\int \cos(v)\,dv=\int \frac{dx}{x}.
Calculo as integrais:
\sin(v)=\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração. Lembre que \int\cos(v)\,dv=\sin(v) e \int \dfrac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert.

Passo 7

Volto à variável original usando v=\dfrac{y}{x}. Assim a solução geral (implícita) é
\sin\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln\lvert x\rvert + C.
Comentário sobre domínio: já que apareceu \ln\lvert x\rvert, temos que x\neq 0. Além disso, o lado esquerdo está no intervalo [-1,1], então para uma dada constante C a solução só existe para x tais que \ln\lvert x\rvert + C\in[-1,1] (isso impõe restrições ao domínio da solução implícita). Também lembramos que durante a divisão usamos \cos\!\left(\frac{y}{x}\right)\neq 0, então pontos onde \cos\!\left(\frac{y}{x}\right)=0 não pertencem à solução obtida por separação.

Passo 8

Verifico os casos especiais: se \cos\!\left(\frac{y}{x}\right)=0 então \frac{y}{x}=\frac{\pi}{2}+k\pi e a equação original dá, no lado esquerdo, x\cos(\cdot)y'=0 enquanto o lado direito é y\cos(\cdot)+x=0+x=x. Isso exigiria 0=x, impossível para x\neq 0. Portanto não existem soluções não-triviais com \cos\!\left(\frac{y}{x}\right)=0 em pontos x\neq 0. O ponto x=0 é singular e precisa de análise separada (mas a solução geral obtida é válida para x\neq 0).

Resposta

\displaystyle \sin\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln\lvert x\rvert + C

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