Determine a equação diferencial associada à família de curvas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma família de curvas definida pela equação
. O objetivo é encontrar a equação diferencial associada a essa família. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais, especialmente sobre como eliminar o parâmetro
para chegar à equação que relaciona
e suas derivadas em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que na família de curvas dada,
é uma constante que pode variar para gerar diferentes curvas. Nosso objetivo é eliminar essa constante para obter uma relação que dependa apenas de
,
e suas derivadas.
Passo 3
Para eliminar o parâmetro
, precisamos de uma equação que envolva
. Vamos começar isolando
na equação dada:
Passo 4
Agora que temos
expresso em termos de
e
, vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a
. Isso nos ajudará a relacionar as derivadas de
com
e eliminar
.
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Calculando as derivadas:
Mas como
é uma constante para cada curva específica, sua derivada em relação a
é zero (
). Então, a equação simplifica para:
Passo 6
Lembrando que já temos
, podemos substituir esse valor na equação:
Passo 7
Agora, vamos simplificar essa equação para isolar
. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 8
Subtraindo
de ambos os lados:
Adicionando
a ambos os lados:
Passo 9
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A equação diferencial associada à família de curvas
é