Determine a equação diferencial associada à família de curvas x^2-y^2= c x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma família de curvas definida pela equação x^2 - y^2 = c x. O objetivo é encontrar a equação diferencial associada a essa família. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais, especialmente sobre como eliminar o parâmetro c para chegar à equação que relaciona y e suas derivadas em função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que na família de curvas dada, c é uma constante que pode variar para gerar diferentes curvas. Nosso objetivo é eliminar essa constante para obter uma relação que dependa apenas de x, y e suas derivadas.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro c, precisamos de uma equação que envolva c. Vamos começar isolando c na equação dada:
x^2 - y^2 = c x Rightarrow c = x^2 - y^2x

Passo 4

Agora que temos c expresso em termos de x e y, vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a x. Isso nos ajudará a relacionar as derivadas de y com x e eliminar c.
Derivando x^2 - y^2 = c x em relação a x:
ddx(x^2) - ddx(y^2) = ddx(c x)

Passo 5

Calculando as derivadas:
2x - 2y dydx = c + x dcdx
Mas como c é uma constante para cada curva específica, sua derivada em relação a x é zero ( dcdx = 0). Então, a equação simplifica para:
2x - 2y dydx = c

Passo 6

Lembrando que já temos c = x^2 - y^2x, podemos substituir esse valor na equação:
2x - 2y dydx = x^2 - y^2x

Passo 7

Agora, vamos simplificar essa equação para isolar dydx. Multiplicando ambos os lados por x para eliminar o denominador:
2x cdot x - 2y x dydx = x^2 - y^2
2x^2 - 2xy dydx = x^2 - y^2

Passo 8

Subtraindo x^2 de ambos os lados:
x^2 - 2xy dydx = -y^2
Adicionando 2xy dydx a ambos os lados:
x^2 + y^2 = 2xy dydx

Passo 9

Finalmente, isolamos dydx:
dydx = x^2 + y^22xy

Resposta

A equação diferencial associada à família de curvas x^2 - y^2 = c x é
dydx = x^2 + y^22 x y

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