Válidas as hipóteses do teorema de Picard sobre o retângulo , a solução exata do poblema de valor inicial(PVI)
pode ser aproximada mediante a sequência , onde
Mostra-se que a sequência converge para a solução exata , onde
Verifica-se que
onde
Pelo método da aproximações sucessivas de Picard, determine as aproximações y1, y2 e y3 do PVI
y^prime & =x+y, y(0) & =0
no retângulo R=(x, y) ;|x| <= 1,|y| <= 1. Além disso, estime o erro de aproximação
|y(x)-y3(x)|
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Método de Aproximações Sucessivas de Picard para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI). O PVI dado é:
y' &= x + y, y(0) &= 0
Vamos trabalhar dentro do retângulo R = (x, y) ; |x| <= 1, |y| <= 1. Para resolver isso, precisamos entender o que é o método de Picard e como aplicar suas fórmulas passo a passo para encontrar as aproximações y1, y2 e y3. Também vamos estimar o erro da terceira aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de Picard. É uma técnica iterativa para resolver equações diferenciais, onde começamos com uma função inicial simples e vamos refinando essa função em passos sucessivos para chegar mais perto da solução exata.
A fórmula geral para as aproximações é:
yn(x) = y0 + integralx0^x f(t, yn-1(t)) , dt
Aqui, y0 é a condição inicial, f(x, y) é a parte da equação diferencial y' = f(x, y), e yn-1(t) é a aproximação anterior.
No nosso caso, temos:
f(x, y) = x + y
E a condição inicial é y(0) = 0, ou seja, y0 = 0.
Passo 3
Vamos começar a calcular as aproximações uma a uma.