Válidas as hipóteses do teorema de Picard sobre o retângulo R= (x, y) ;|x-x0| <= a,|y-y0| <= b, a solução exata (y(x)) do poblema de valor inicial(PVI)
y^prime & =f(x, y), y(x0) & =y0
pode ser aproximada mediante a sequência (yn(x)), n=0,1,2 ldots, onde
yn(x)=y0+integralx0^x f(t, yn-1(t)) d t, (n=1,2, ldots)
Mostra-se que a sequência (yn(x)) converge para a solução exata y(x), x0- alpha, onde
M:=max (x, y) in R|f(x, y)|, h:=min (a, bM)
Verifica-se que
|y(x)-yn(x)| <= M cdot N^n-1n! h^n
onde
N=max (x, y) in R|partial fpartial y|
Pelo método da aproximações sucessivas de Picard, determine as aproximações y1, y2 e y3 do PVI
y^prime & =x+y, y(0) & =0
no retângulo R=(x, y) ;|x| <= 1,|y| <= 1. Além disso, estime o erro de aproximação
|y(x)-y3(x)|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Método de Aproximações Sucessivas de Picard para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI). O PVI dado é:
y' &= x + y, y(0) &= 0
Vamos trabalhar dentro do retângulo R = (x, y) ; |x| <= 1, |y| <= 1. Para resolver isso, precisamos entender o que é o método de Picard e como aplicar suas fórmulas passo a passo para encontrar as aproximações y1, y2 e y3. Também vamos estimar o erro da terceira aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Picard. É uma técnica iterativa para resolver equações diferenciais, onde começamos com uma função inicial simples e vamos refinando essa função em passos sucessivos para chegar mais perto da solução exata.
A fórmula geral para as aproximações é:
yn(x) = y0 + integralx0^x f(t, yn-1(t)) , dt
Aqui, y0 é a condição inicial, f(x, y) é a parte da equação diferencial y' = f(x, y), e yn-1(t) é a aproximação anterior.
No nosso caso, temos:
f(x, y) = x + y
E a condição inicial é y(0) = 0, ou seja, y0 = 0.

Passo 3

Vamos começar a calcular as aproximações uma a uma.
Primeira Aproximação ( y1):
Usamos y0 = 0:
y1(x) = y0 + integral0^x f(t, y0(t)) , dt = 0 + integral0^x (t + 0) , dt
Calculando a integral:
y1(x) = integral0^x t , dt = t^22|0^x = x^22
Então, a primeira aproximação é:
y1(x) = x^22

Passo 4

Segunda Aproximação ( y2):
Agora usamos y1(x) = x^22:
y2(x) = y0 + integral0^x f(t, y1(t)) , dt = 0 + integral0^x (t + t^22) , dt
Calculando a integral:
y2(x) = integral0^x t , dt + integral0^x t^22 , dt = t^22|0^x + t^36|0^x = x^22 + x^36
Então, a segunda aproximação é:
y2(x) = x^22 + x^36

Passo 5

Terceira Aproximação ( y3):
Agora usamos y2(x) = x^22 + x^36:
y3(x) = y0 + integral0^x f(t, y2(t)) , dt = 0 + integral0^x (t + (t^22 + t^36)) , dt
Simplificando a expressão dentro da integral:
f(t, y2(t)) = t + t^22 + t^36
Calculando a integral:
y3(x) = integral0^x t , dt + integral0^x t^22 , dt + integral0^x t^36 , dt
= t^22|0^x + t^36|0^x + t^424|0^x = x^22 + x^36 + x^424
Então, a terceira aproximação é:
y3(x) = x^22 + x^36 + x^424

Passo 6

Agora, vamos estimar o erro entre a solução exata y(x) e a terceira aproximação y3(x). A fórmula dada para o erro é:
| y(x) - yn(x) | <= M cdot N^n-1n! h^n
Onde:
  • M = max(x, y) in R |f(x, y)|
  • N = max(x, y) in R | partial fpartial y |
  • h = min (a, bM)
  • n = 3 (já que queremos o erro após a terceira aproximação)
Vamos calcular cada um desses valores.
Calculando M:
f(x, y) = x + y
Dentro do retângulo R, |x| <= 1 e |y| <= 1, então:
|f(x, y)| = |x + y| <= |x| + |y| <= 1 + 1 = 2
Então, M = 2.
Calculando N:
partial fpartial y = partialpartial y (x + y) = 1
Então, | partial fpartial y | = 1, e N = 1.
Calculando h:
a = 1 e bM = 12 = 0.5
Então, h = min(1, 0.5) = 0.5.
Calculando o erro para n = 3:
| y(x) - y3(x) | <= 2 cdot 1^3-13! cdot (0.5)^3 = 2 cdot 16 cdot 0.125 = 26 cdot 0.125 = 13 cdot 0.125 approx 0.0417

Resposta

As aproximações pelo método de Picard são:
y1(x) &= x^22, y2(x) &= x^22 + x^36, y3(x) &= x^22 + x^36 + x^424
Além disso, o erro de aproximação satisfaz:
| y(x) - y3(x) | <= 0.0417

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