Esboce o gráfico e calcule a área da região indicada abaixo em m²:
Região limitada pelos gráficos das funções y=2-x^2 e y=-x

Passo 1

A questão pede pra gente desenhar as curvas de y=2−x^2 e y=−x e depois achar a área da região fechada por elas, aplicando integração entre curvas.

Passo 2

Primeiro esboça: a parábola y=2−x^2 tem vértice em (0,2) e abre para baixo; a reta y=−x é decrescente, cruzando em (0,0). A região fica entre os pontos onde elas se cruzam.
Para achar esses pontos, igualamos 2−x^2=−x, ou seja x^2−x−2=0. Resolvendo, fatoramos em (x−2)(x+1)=0, dando x=2 e x=−1. Então a região está pra x∈[−1,2].

Passo 3

O próximo passo é montar a integral da diferença das funções: a parte de cima é y=2−x^2 e a de baixo é y=−x. Logo a área vale
A=integral-1^2l[(2−x^2)−(−x)r],dx=integral-1^2(2−x^2+x),dx

Passo 4

Basta calcular a integral:
integral(2−x^2+x),dx=2x-x^33+x^22 Avaliando de −1 a 2, obtemos
l(4-83+2r)-l(-2+13+12r)=103-l(-76r)=103+76=92

Passo 5

Portanto, a área da região é dada por essa integral e vale 9/2.

Resposta

92,m^2

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