Esboce o gráfico e calcule a área da região indicada abaixo em m²:
Região limitada pelos gráficos das funções
e
Região limitada pelos gráficos das funções
Passo 1
A questão pede pra gente desenhar as curvas de y=2−x^2 e y=−x e depois achar a área da região fechada por elas, aplicando integração entre curvas.
Passo 2
Primeiro esboça: a parábola y=2−x^2 tem vértice em (0,2) e abre para baixo; a reta y=−x é decrescente, cruzando em (0,0). A região fica entre os pontos onde elas se cruzam.
Para achar esses pontos, igualamos 2−x^2=−x, ou seja x^2−x−2=0. Resolvendo, fatoramos em (x−2)(x+1)=0, dando x=2 e x=−1. Então a região está pra x∈[−1,2].
Para achar esses pontos, igualamos 2−x^2=−x, ou seja x^2−x−2=0. Resolvendo, fatoramos em (x−2)(x+1)=0, dando x=2 e x=−1. Então a região está pra x∈[−1,2].
Passo 3
O próximo passo é montar a integral da diferença das funções: a parte de cima é y=2−x^2 e a de baixo é y=−x. Logo a área vale
Passo 4
Basta calcular a integral:
Passo 5
Portanto, a área da região é dada por essa integral e vale 9/2.