Determine uma equação diferencial cuja solução seja igual a y=e^x+x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar uma equação diferencial cuja solução seja y = e^x + x^2 . Isso está no campo das equações diferenciais, que são equações que relacionam uma função com suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de y e montar uma equação que envolva essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de y . A função dada é:
y = e^x + x^2
A derivada de e^x em relação a x é e^x e a derivada de x^2 é 2x . Então:
y' = dydx = e^x + 2x

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de y , que é a derivada de y' :
y' = e^x + 2x
Derivando novamente:
y'' = d^2ydx^2 = e^x + 2

Passo 4

Com as derivadas em mãos, a gente pode montar uma equação diferencial. Vamos tentar relacionar y , y' e y'' de uma forma que elimine os termos independentes. Podemos observar que:
y'' = e^x + 2
y' = e^x + 2x
Se subtrairmos y' de y'' , teremos:
y'' - y' = (e^x + 2) - (e^x + 2x) = -2x + 2
Então, podemos escrever a equação diferencial assim:
y'' - y' = -2x + 2

Resposta

A equação diferencial cuja solução é y = e^x + x^2 é:
y'' - y' = -2x + 2

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