Determine uma equação diferencial cuja solução seja igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar uma equação diferencial cuja solução seja
. Isso está no campo das equações diferenciais, que são equações que relacionam uma função com suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de
e montar uma equação que envolva essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função dada é:
A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de
, que é a derivada de
:
Derivando novamente:
Passo 4
Com as derivadas em mãos, a gente pode montar uma equação diferencial. Vamos tentar relacionar
,
e
de uma forma que elimine os termos independentes. Podemos observar que:
Se subtrairmos
de
, teremos:
Então, podemos escrever a equação diferencial assim:
Resposta
A equação diferencial cuja solução é
é: