Determine a solução dos Problemas de Valor Inicial (PVI) dados. Desenhe o gráfico da solução e descreva o comportamento de cada uma delas no infinito:
, com
Passo 1
Ei! Vamos resolver juntos esse Problema de Valor Inicial (PVI). A equação que temos é
com a condição inicial
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar fatores integrais e integrar funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que nossa equação diferencial é linear da forma
. No nosso caso, podemos reescrever a equação como
. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação diferencial em algo que podemos integrar facilmente.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação no lado esquerdo em uma derivada de um produto:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. O lado direito exige o uso da técnica de integração por partes ou a fórmula de integração de
.
Passo 6
Usando a fórmula de integração, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Então, nossa equação fica:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Passo 9
Substituindo
na solução geral, temos:
Simplificando:
Passo 10
Para desenhar o gráfico, observamos que
cresce exponencialmente enquanto
e
são funções periódicas limitadas. Assim, quando
vai para o infinito,
é dominado pelo termo
, crescendo sem limites.
Resposta
A solução do PVI é:
No gráfico, a solução cresce exponencialmente à medida que
tende ao infinito, dominada pelo termo
. Para
indo para menos infinito,
tende a
, pois o termo exponencial diminui.