Determine a solução dos Problemas de Valor Inicial (PVI) dados. Desenhe o gráfico da solução e descreva o comportamento de cada uma delas no infinito:
y^prime=sin (x)+y, com y(0)=0

Passo 1

Ei! Vamos resolver juntos esse Problema de Valor Inicial (PVI). A equação que temos é y' = sin(x) + y com a condição inicial y(0) = 0 . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar fatores integrais e integrar funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa equação diferencial é linear da forma y' + P(x)y = Q(x) . No nosso caso, podemos reescrever a equação como y' - y = sin(x) . Aqui, P(x) = -1 e Q(x) = sin(x) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -1 dx = e^-x
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação diferencial em algo que podemos integrar facilmente.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante e^-x :
e^-x y' - e^-x y = e^-x sin(x)
Isso transforma a equação no lado esquerdo em uma derivada de um produto:
ddx [e^-x y] = e^-x sin(x)

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx [e^-x y] dx = integral e^-x sin(x) dx
O lado esquerdo simplifica para e^-x y . O lado direito exige o uso da técnica de integração por partes ou a fórmula de integração de e^ax sin(bx) .

Passo 6

Usando a fórmula de integração, temos:
integral e^-x sin(x) dx = e^-x2 (sin(x) - cos(x)) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Então, nossa equação fica:
e^-x y = e^-x2 (sin(x) - cos(x)) + C
Multiplicando ambos os lados por e^x para isolar y :
y = 12 (sin(x) - cos(x)) + C e^x

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 0 :
0 = 12 (sin(0) - cos(0)) + C e^0 0 = 12 (0 - 1) + C 0 = -12 + C C = 12

Passo 9

Substituindo C = 12 na solução geral, temos:
y = 12 (sin(x) - cos(x)) + 12 e^x
Simplificando:
y = 12 (sin(x) - cos(x) + e^x)

Passo 10

Para desenhar o gráfico, observamos que e^x cresce exponencialmente enquanto sin(x) e cos(x) são funções periódicas limitadas. Assim, quando x vai para o infinito, y é dominado pelo termo 12 e^x , crescendo sem limites.

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 12 ( sin(x) - cos(x) + e^x )
No gráfico, a solução cresce exponencialmente à medida que x tende ao infinito, dominada pelo termo e^x . Para x indo para menos infinito, y(x) tende a -12 (cos(x) - sin(x)), pois o termo exponencial diminui.

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