Determine se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série geométrica converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos achar a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas e entender como identificar a razão da série para verificar sua convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é de fato uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
é o primeiro termo da série,
é a razão da série.
No nosso caso, o termo geral da série é . Vamos manipular isso para colocarmos na forma de uma série geométrica.
Passo 3
Vamos reescrever o termo geral:
Podemos reescrever ainda mais:
Agora, vamos separar as potências:
Então, a série fica:
Comparando com a forma geral da série geométrica, temos:
Passo 4
Para uma série geométrica , sabemos que ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.
Vamos calcular :
Como 1,25 > 1, a condição para convergência não é satisfeita.
Resposta
A série geométrica sumn=1^infty(-5)^n-1 4^-ndiverge.