Determine se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
sumn=1^infty(-5)^n-1 4^-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série geométrica sumn=1^infty(-5)^n-1 4^-n converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos achar a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas e entender como identificar a razão da série para verificar sua convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é de fato uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=1^infty ar^n-1
onde:
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão da série.
No nosso caso, o termo geral da série é (-5)^n-1 4^-n. Vamos manipular isso para colocarmos na forma de uma série geométrica.

Passo 3

Vamos reescrever o termo geral:
(-5)^n-1 4^-n = (-5)^n-1 cdot (14)^n
Podemos reescrever ainda mais:
= (-5)^n-1 cdot 14^n = (-5)^n-14^n
Agora, vamos separar as potências:
= (-5)^n-14^n-1 cdot 4 = 14 cdot (-54)^n-1
Então, a série fica:
sumn=1^infty 14 cdot (-54)^n-1
Comparando com a forma geral da série geométrica, temos:
  • a = 14
  • r = -54

Passo 4

Para uma série geométrica sumn=1^infty ar^n-1, sabemos que ela converge se o valor absoluto da razão r for menor que 1, ou seja, |r| < 1. Se |r| >= 1, a série diverge.
Vamos calcular |r|:
|r| = |-54| = 54 = 1,25
Como 1,25 > 1, a condição para convergência não é satisfeita.

Resposta

A série geométrica sumn=1^infty(-5)^n-1 4^-n diverge.

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