Determine a solução dos Problemas de Valor Inicial (PVI) dados. Desenhe o gráfico da solução e descreva o comportamento de cada uma delas no infinito:
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve a equação diferencial
com a condição inicial
. Esse tipo de problema faz parte da matéria de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Nossa equação
pode ser rearranjada para:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
:
Passo 6
Vamos calcular a integral
usando integração por partes. Escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução do PVI é
. O gráfico dessa solução é uma reta que passa pelo ponto (0, 1) com inclinação 1. Conforme
vai para o infinito,
também cresce linearmente sem limites, ou seja,
tende a
.