Determine a solução dos Problemas de Valor Inicial (PVI) dados. Desenhe o gráfico da solução e descreva o comportamento de cada uma delas no infinito:
y^prime=y-x, com y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve a equação diferencial y' = y - x com a condição inicial y(0) = 1 . Esse tipo de problema faz parte da matéria de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
dydx + P(x)y = Q(x)
Nossa equação y' = y - x pode ser rearranjada para:
dydx - y = -x
Aqui, identificamos que P(x) = -1 e Q(x) = -x .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) = -1 :
mu(x) = e^integral -1 , dx = e^-x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-x dydx - e^-x y = -x e^-x
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto mu(x)y :
ddx ( e^-x y ) = -x e^-x

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( e^-x y ) , dx = integral -x e^-x , dx
O lado esquerdo simplifica para e^-x y :
e^-x y = integral -x e^-x , dx + C

Passo 6

Vamos calcular a integral integral -x e^-x , dx usando integração por partes. Escolhemos:
u = -x Rightarrow du = -dx
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
integral -x e^-x , dx = -x (-e^-x) - integral (-e^-x)(-dx) = x e^-x - integral e^-x , dx = x e^-x + e^-x + C

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
e^-x y = x e^-x + e^-x + C
Multiplicamos ambos os lados por e^x para isolar y :
y = x + 1 + C e^x

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0) = 1 :
1 = 0 + 1 + C e^0 Rightarrow 1 = 1 + C Rightarrow C = 0

Resposta

A solução do PVI é y = x + 1 . O gráfico dessa solução é uma reta que passa pelo ponto (0, 1) com inclinação 1. Conforme x vai para o infinito, y também cresce linearmente sem limites, ou seja, y tende a +infty .

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