1-Determine a equação diferencial das curvas cujas retas normais passam pela origem.

Passo 1

O enunciado pede a equação diferencial da família de curvas y=y(x) tais que, em cada ponto (x,y), a reta normal à curva passa pelo ponto (0,0). Vamos usar a relação entre a derivada y'=dydx, a reta tangente e a reta normal.

Passo 2

A inclinação da reta tangente à curva em (x,y) é
mt = y' = dydx
Logo, a inclinação da reta normal é
mn = -1mt = -1y'

Passo 3

A equação da reta normal em (x,y) pode ser escrita como
Y - y = mn,(X - x)
Impondo que esta reta passa por (0,0), substituímos (X,Y)=(0,0) e obtemos
0 - y = mn,(0 - x) Longrightarrow -y = -mn,x Longrightarrow y = mn,x

Passo 4

Substituindo mn = -1/y' na relação y = mn,x, vem
y = -1y',x Longrightarrow y,y' + x = 0
Esse é o nosso resultado: uma equação diferencial de primeira ordem que caracteriza as curvas desejadas.

Resposta

A equação diferencial é
y,dydx + x = 0,
ou, equivalentemente,
dydx = -xy

Exercícios relacionados