1-Determine a equação diferencial das curvas cujas retas normais passam pela origem.
Passo 1
O enunciado pede a equação diferencial da família de curvas
tais que, em cada ponto
, a reta normal à curva passa pelo ponto
. Vamos usar a relação entre a derivada
, a reta tangente e a reta normal.
Passo 2
A inclinação da reta tangente à curva em
é
Logo, a inclinação da reta normal é
Passo 3
A equação da reta normal em
pode ser escrita como
Impondo que esta reta passa por
, substituímos
e obtemos
Passo 4
Substituindo
na relação
, vem
Esse é o nosso resultado: uma equação diferencial de primeira ordem que caracteriza as curvas desejadas.
Resposta
A equação diferencial é
ou, equivalentemente,