Considere os números a=13 e b=12.
Encontre, se possível, um número irracional entre a e b.

Passo 1

O enunciado dá a=tfrac13 e b=tfrac12 e pede um número irracional x tal que
tfrac13<x<tfrac12
O conteúdo é a densidade dos números irracionais em R: entre dois reais sempre existe um irracional.

Passo 2

Vamos usar o irracional clássico raiz2. Como a soma ou diferença de um irracional com um racional é irracional, definimos
x = raiz2 - 1

Passo 3

Mostramos que x é irracional. Se x fosse racional, então
raiz2 = x + 1
seria soma de dois racionais, o que contraria o fato de raiz2 ser irracional. Logo, x é irracional.

Passo 4

Verificamos que tfrac13<x<tfrac12. De fato,
raiz2approx1,4142Longrightarrow x=raiz2-1approx0,4142,
e como
tfrac13approx0,3333etfrac12=0,5,
segue
0,3333<0,4142<0,5,
ou seja, tfrac13<x<tfrac12.

Resposta

Uma possível escolha é
boxedx = raiz2 - 1

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