Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolver. O conteúdo aqui é de equações exatas: precisamos checar a condição
e, se não for exata, buscar um fator integrante que a torne exata.
e, se não for exata, buscar um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata imediatamente.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. Note que o termo
sugere multiplicar por
. Definimos
e multiplicamos a equação original por
.
Passo 4
Depois de multiplicar, ficamos com
Calculamos
e, ajustando os termos, confirma-se
. Assim, a equação é exata após multiplicar por
.
Passo 5
Construímos então a função potencial
tal que
Integrando
em
:
Derivando em
e igualando a
dá
, logo
é constante.