Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
(y ln y-e^-x y) d x+(1y+x ln y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(y ln y - e^-xyr),dx + l(1y + x ln yr),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolver. O conteúdo aqui é de equações exatas: precisamos checar a condição
partial Mpartial y=partial Npartial x
e, se não for exata, buscar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=yln y - e^-xy, N(x,y)=1y+xln y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =ln y +1 + x e^-xy, partial Npartial x =ln y
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata imediatamente.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x,y). Note que o termo e^-xy sugere multiplicar por mu=e^xy. Definimos
mu(x,y)=e^xy
e multiplicamos a equação original por mu.

Passo 4

Depois de multiplicar, ficamos com
tilde M = mu M = y e^xyln y -1, tilde N = mu N = e^xyy + x e^xyln y
Calculamos
partialtilde Mpartial y = x e^xyln y + e^xyy + e^xyln y, partialtilde Npartial x = e^xy + e^xyln y + x y e^xyln y,
e, ajustando os termos, confirma-se
partialtilde M/partial y=partialtilde N/partial x. Assim, a equação é exata após multiplicar por e^xy.

Passo 5

Construímos então a função potencial phi(x,y) tal que
phix=tilde M, phiy=tilde N
Integrando phix em x:
phi(x,y) =integrall(y e^xyln y -1r),dx =e^xyln y - x + h(y)
Derivando em y e igualando a tilde N h'(y)=0, logo h é constante.

Resposta

e^xyln y - x = C

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