Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer
(b) Se
então
, para qualquer
.
(b) Se
Passo 1
Vamos provar a propriedade de ordem em
que diz: “se
então
para qualquer
”.
Conteúdo usado: os axiomas da ordem em , em particular a definição
Conteúdo usado: os axiomas da ordem em
e o fato de que a soma de dois números não negativos é não negativa (fechamento da soma em
).
Passo 2
Como
, temos por definição de ordem que
Agora olhe para a diferença
Reagrupando termos, obtemos
Como já sabemos que
, segue que
ou seja, pela mesma definição de ordem,
Passo 3
Intuitivamente, adicionar
a dois números
e
simplesmente “desloca” ambos na reta numérica em
unidades, sem alterar quem é maior ou menor. Por isso a desigualdade se preserva.
Resposta
Se
então necessariamente
, para todo
.