Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer a, b, c in R
(b) Se a <= b então a+c <= b+c, para qualquer c in R.

Passo 1

Vamos provar a propriedade de ordem em R que diz: “se a<= b então a+c<= b+c para qualquer cinR”.
Conteúdo usado: os axiomas da ordem em R, em particular a definição
a <= b Long<=ftrightarrow b - a >= 0
e o fato de que a soma de dois números não negativos é não negativa (fechamento da soma em R>=0).

Passo 2

Como a<= b, temos por definição de ordem que
b - a >= 0
Agora olhe para a diferença
(b+c) - (a+c)
Reagrupando termos, obtemos
(b+c) - (a+c) = b - a
Como já sabemos que b - a >= 0, segue que
(b+c) - (a+c)>=0,
ou seja, pela mesma definição de ordem,
a+c <= b+c

Passo 3

Intuitivamente, adicionar c a dois números a e b simplesmente “desloca” ambos na reta numérica em c unidades, sem alterar quem é maior ou menor. Por isso a desigualdade se preserva.

Resposta

Se a<= b então necessariamente a+c<= b+c, para todo cinR.

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