Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
x d y + (y - 2 x e^{x} + 6 x^{2})dx = 0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar se a equação diferencial
x\,dy + \bigl(y - 2x e^{x} + 6x^{2}\bigr)\,dx = 0
é exata.
  • Se for exata, resolver a equação (achar a solução geral).
Informações dadas (explicitando os termos): a equação envolve as variáveis x e y e está escrita com os diferenciais dx e dy. Não há outras condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Comparando com a equação dada, temos
M(x,y)=y - 2x e^{x} + 6x^{2}, \qquad N(x,y)=x.

Passo 3

Lembrando o critério de exatidão (mini-aula curta e prática): uma equação diferencial na forma \,M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata num domínio quando existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=N.
Um teste prático: se M e N são C^1 (deriváveis) então a equação é exata quando
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata (pelo menos em qualquer domínio onde M,N sejam diferenciáveis, por exemplo em todo \mathbb{R}^2).

Passo 4

Método para resolver equações exatas (mini-aula): encontrar \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Para isso normalmente integramos M em relação a x (tratando y como constante) e depois ajustamos com uma função de y que aparece como “constante de integração” nessa integração parcial.
Começamos integrando M(x,y) em relação a x:
\Phi(x,y)=\int \bigl(y - 2x e^{x} + 6x^{2}\bigr)\,dx.
Integramos termo a termo, lembrando que y é tratada como constante nesta integral.
  1. \displaystyle \int y\,dx = yx.
  2. \displaystyle \int 6x^{2}\,dx = 2x^{3}.
  3. Para \displaystyle \int -2x e^{x}\,dx usamos integração por partes (mini-aula sobre integração por partes):
    • Regra: \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du.
    • Escolha u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}.
    • Assim \displaystyle \int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} = e^{x}(x-1).
    • Multiplicando por -2 obtemos \displaystyle \int -2x e^{x}\,dx = -2 e^{x}(x-1).
Somando tudo:
\Phi(x,y)=yx -2 e^{x}(x-1) + 2x^{3} + h(y),
onde h(y) é uma função de y que aparece porque na integração em relação a x tratamos y como constante.

Passo 5

Determinar h(y) impondo \Phi_y=N. Calcule \Phi_y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x + h'(y).
Mas deve valer \Phi_y=N=x. Logo
x + h'(y)=x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Portanto h(y)=C, constante.

Passo 6

A solução implícita (função potencial constante) é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
x y -2 e^{x}(x-1) + 2x^{3}=C.
Podemos expandir o termo exponencial se preferir:
x y -2x e^{x} + 2 e^{x} + 2x^{3} = C.
Se quiser a solução explícita para y (quando x\neq 0), basta isolar:
y=\frac{C +2 e^{x}(x-1) - 2x^{3}}{x}, \qquad x\neq 0.

Resposta

A equação é exata.
Solução implícita: \;x y -2 e^{x}(x-1) + 2x^{3}=C.

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