Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
x d y + (y - 2 x e^{x} + 6 x^{2})dx = 0
x d y + (y - 2 x e^{x} + 6 x^{2})dx = 0
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar se a equação diferencial
é exata.
- Se for exata, resolver a equação (achar a solução geral).
Informações dadas (explicitando os termos): a equação envolve as variáveis
e
e está escrita com os diferenciais
e
. Não há outras condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
Comparando com a equação dada, temos
Passo 3
Lembrando o critério de exatidão (mini-aula curta e prática): uma equação diferencial na forma
é exata num domínio quando existe uma função potencial
tal que
Um teste prático: se
e
são
(deriváveis) então a equação é exata quando
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata (pelo menos em qualquer domínio onde
sejam diferenciáveis, por exemplo em todo
).
Passo 4
Método para resolver equações exatas (mini-aula): encontrar
tal que
e
. Para isso normalmente integramos
em relação a
(tratando
como constante) e depois ajustamos com uma função de
que aparece como “constante de integração” nessa integração parcial.
Começamos integrando
em relação a
:
Integramos termo a termo, lembrando que
é tratada como constante nesta integral.
-
-
-
Para
usamos integração por partes (mini-aula sobre integração por partes): - Regra:
- Escolha
e . Então e . - Assim
- Multiplicando por
obtemos
- Regra:
Somando tudo:
onde
é uma função de
que aparece porque na integração em relação a
tratamos
como constante.
Passo 5
Determinar
impondo
. Calcule
:
Mas deve valer
. Logo
Portanto
, constante.
Passo 6
A solução implícita (função potencial constante) é
ou seja
Podemos expandir o termo exponencial se preferir:
Se quiser a solução explícita para
(quando
), basta isolar:
Resposta
A equação é exata.
Solução implícita: .
Solução implícita: