Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
(2 x y-3) d x+\left(x^{2}+4 y\right) d y=0, y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
(2 x y-3)\,dx+\left(x^{2}+4 y\right)\,dy=0, \qquad y(1)=2.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficiente de dx: M(x,y)=2xy-3.
  • Coeficiente de dy: N(x,y)=x^2+4y.
  • Condição inicial: y(1)=2.

Passo 2

Primeiro passo de método (teoria necessária): para uma equação na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
dizemos que ela é exata se existir uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma maneira prática de verificar exatidão é checar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y} \stackrel{?}{=} \frac{\partial N}{\partial x}.
Agora calculo essas derivadas para os M e N dados:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy-3)=2x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+4y)=2x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2x, a equação é exata. Isso garante que existe \Phi(x,y) com as propriedades acima e que a solução geral é dada implicitamente por \Phi(x,y)=C.

Passo 3

Como \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=2xy-3, integro essa expressão em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int (2xy-3)\,dx = \int 2xy\,dx - \int 3\,dx.
Calculo cada integral:
\int 2xy\,dx = 2y\int x\,dx = 2y\cdot\frac{x^2}{2}=x^2y, \qquad \int 3\,dx = 3x.
Portanto, a primitiva em relação a x é
\Phi(x,y)=x^2y-3x + h(y),
onde h(y) é uma função de y (constante de integração em relação a x) que ainda precisamos determinar.

Passo 4

Agora uso a outra condição para \Phi: \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y)=x^2+4y. Calculo \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^2y-3x+h(y)\big)=x^2 + h'(y).
Igualando à expressão dada para N:
x^2 + h'(y) = x^2 + 4y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=4y.
Integro h'(y) em relação a y:
h(y)=\int 4y\,dy = 2y^2 + C_0.
O termo constante C_0 pode ser absorvido na constante final da solução implícita, então posso tomar h(y)=2y^2 e lembrar que haverá uma constante geral C depois.

Passo 5

Assim a função potencial completa é
\Phi(x,y)=x^2y-3x+2y^2.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
x^2y-3x+2y^2=C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 6

Agora aplico a condição inicial y(1)=2 para determinar C. Substituo x=1 e y=2 na expressão implícita:
1^2\cdot 2 - 3\cdot 1 + 2\cdot 2^2 = 2 - 3 + 8 = 7.
Portanto C=7. A solução particular que satisfaz a condição inicial é
x^2y-3x+2y^2=7.

Passo 7

Opcional — obter y explicitamente (útil se precisar do y(x) em forma isolada). A equação particular é quadrática em y:
2y^2 + x^2 y -3x -7 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara para y (variável), com a=2, b=x^2, c=-3x-7, o discriminante é
\Delta = b^2-4ac = x^4 -4\cdot 2\cdot(-3x-7) = x^4 +24x +56.
As soluções são
y(x)=\frac{-x^2 \pm \sqrt{x^4+24x+56}}{4}.
Para escolher o sinal, uso a condição inicial y(1)=2. Em x=1:
y(1)=\frac{-1 \pm \sqrt{1+24+56}}{4}=\frac{-1\pm 9}{4}.
A escolha + y(1)=\dfrac{8}{4}=2, que coincide com a condição inicial. Logo a ramo da solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{-x^2 + \sqrt{x^4+24x+56}}{4}.
Observação rápida: a expressão dentro da raiz deve ser não negativa para que a solução explícita seja real; perto de x=1 isso ocorre (ali o discriminante é 81).

Resposta

x^{2}y-3x+2y^{2}=7
y(x)=\dfrac{-x^{2}+\sqrt{x^{4}+24x+56}}{4}

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