Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Condição inicial:
.
Passo 2
Primeiro passo de método (teoria necessária): para uma equação na forma
dizemos que ela é exata se existir uma função potencial
tal que
Uma maneira prática de verificar exatidão é checar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Agora calculo essas derivadas para os
e
dados:
Como
, a equação é exata. Isso garante que existe
com as propriedades acima e que a solução geral é dada implicitamente por
.
Passo 3
Como
, integro essa expressão em relação a
, tratando
como constante:
Calculo cada integral:
Portanto, a primitiva em relação a
é
onde
é uma função de
(constante de integração em relação a
) que ainda precisamos determinar.
Passo 4
Agora uso a outra condição para
:
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Igualando à expressão dada para
:
Integro
em relação a
:
O termo constante
pode ser absorvido na constante final da solução implícita, então posso tomar
e lembrar que haverá uma constante geral
depois.
Passo 5
Assim a função potencial completa é
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 6
Agora aplico a condição inicial
para determinar
. Substituo
e
na expressão implícita:
Portanto
. A solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Opcional — obter
explicitamente (útil se precisar do
em forma isolada). A equação particular é quadrática em
:
Usando a fórmula de Bhaskara para
(variável), com
,
,
, o discriminante é
As soluções são
Para escolher o sinal, uso a condição inicial
. Em
:
A escolha
dá
, que coincide com a condição inicial. Logo a ramo da solução que satisfaz a condição inicial é
Observação rápida: a expressão dentro da raiz deve ser não negativa para que a solução explícita seja real; perto de
isso ocorre (ali o discriminante é
).