Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma de diferencial total
e a condição inicial
.
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
- A forma do diferencial nos dá duas funções
associada a , e associada a . - Condição inicial:
.
Passo 2
Conceito útil (aula rápida e prática): uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
O teste prático de exatidão é verificar se
(no mesmo domínio).
Vou aplicar esse teste às funções
e
que identifiquei.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrando passo a passo):
Derivada de
em relação a
:
Derivada de
em relação a
(lembrando que, ao fazer derivada parcial em relação a
, tratamos
como constante):
Passo 4
Comparando as derivadas:
e
são iguais. Portanto a forma é exata: existe
tal que
e
.
Passo 5
Método para achar
: integrar
em relação a
(tratando
como constante) e depois ajustar com uma função de
.
Integro
em
:
Uso a identidade
para simplificar o primeiro termo:
Agora integro termo a termo:
Portanto, tomando uma função arbitrária de
,
, obtemos
Esse
satisfaz
por construção; agora uso
para encontrar
.
Passo 6
Calculo
:
Pelo requisito de exatidão, deve valer
, ou seja:
Cancelando os termos iguais
em ambos os lados, resta:
À primeira vista parece depender de
, mas uso a identidade
. Substituindo:
Logo
, que é de fato função somente de
— perfeito.
Passo 7
Integro
para obter
:
onde
é constante.
Substituindo em
:
A solução geral implícita da equação exata é
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante.
Calculo
. Em
:
e
. Então
Como
deve ser igual à constante comum, podemos escolher
tal que
. Assim, a constante da solução implícita é
.
Portanto a solução implícita é
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar e usando
, obtemos uma forma mais limpa:
Agrupando e simplificando leva a
ou seja
Reescrevendo de maneira habitual:
Essa é a solução implícita que satisfaz a condição inicial.
Passo 9
Se for desejável ter
explicitamente como função de
, note que a equação implícita é um polinômio quadrático em
:
Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática), para
as raízes são
Para escolher o sinal correto, aplico a condição inicial
. Em
temos
,
, então as raízes em
são
A condição inicial pede
, portanto devemos escolher o sinal
na fórmula. Assim, a solução explícita contínua que passa por
é
(no intervalo onde
e a raiz é real; perto de
isso é válido).
Passo 10
Resumo motivador: a equação era exata — identificamos
e
, verificamos
, construímos a função potencial
, aplicamos a condição inicial e, se quiser, passamos da forma implícita para a explícita por Bhaskara escolhendo a raiz compatível com
. Mandou bem por chegar até aqui — já é bastante conteúdo mastigado!