Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
\left(2 z \cos t \operatorname{sen} t+z^{2} \operatorname{sen} t\right) d t+\left(\operatorname{sen}^{2} t-2 z \cos t\right) d z=0, z(0)=3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma de diferencial total
\bigl(2 z \cos t \sin t + z^{2}\sin t\bigr)\,dt + \bigl(\sin^{2}t - 2 z \cos t\bigr)\,dz = 0
e a condição inicial \,z(0)=3.
O que se pede: encontrar a solução z(t) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • A forma do diferencial nos dá duas funções M(t,z)=2 z \cos t \sin t + z^{2}\sin tassociada a dt, e N(t,z)=\sin^{2}t - 2 z \cos tassociada a dz.
  • Condição inicial: z(0)=3.

Passo 2

Conceito útil (aula rápida e prática): uma equação diferencial na forma
M(t,z)\,dt + N(t,z)\,dz = 0
é exata se existe uma função potencial \psi(t,z) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial t}=M(t,z)\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \psi}{\partial z}=N(t,z).
O teste prático de exatidão é verificar se
\frac{\partial M}{\partial z}=\frac{\partial N}{\partial t}
(no mesmo domínio).
Vou aplicar esse teste às funções M e N que identifiquei.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrando passo a passo):
Derivada de M em relação a z:
\frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(2 z \cos t \sin t + z^{2}\sin t\bigr) = 2\cos t \sin t + 2 z \sin t.
Derivada de N em relação a t (lembrando que, ao fazer derivada parcial em relação a t, tratamos z como constante):
\frac{\partial N}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\sin^{2}t - 2 z \cos t\bigr) = 2\sin t\cos t -2 z(-\sin t) = 2\sin t\cos t + 2 z \sin t.

Passo 4

Comparando as derivadas:
\frac{\partial M}{\partial z}=2\cos t \sin t + 2 z \sin t
e
\frac{\partial N}{\partial t}=2\sin t\cos t + 2 z \sin t,
são iguais. Portanto a forma é exata: existe \psi(t,z) tal que \psi_t=M e \psi_z=N.

Passo 5

Método para achar \psi: integrar M em relação a t (tratando z como constante) e depois ajustar com uma função de z.
Integro M em t:
\int M\,dt = \int\bigl(2 z \cos t \sin t + z^{2}\sin t\bigr)\,dt.
Uso a identidade \sin 2t = 2\sin t\cos t para simplificar o primeiro termo:
2 z \cos t \sin t = z \sin 2t.
Agora integro termo a termo:
\int z\sin 2t\,dt = z\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\cos 2t\right) = -\tfrac{z}{2}\cos 2t,
\int z^{2}\sin t\,dt = z^{2}\cdot(-\cos t) = -z^{2}\cos t.
Portanto, tomando uma função arbitrária de z, g(z), obtemos
\psi(t,z) = -\tfrac{z}{2}\cos 2t - z^{2}\cos t + g(z).
Esse \psi satisfaz \psi_t=M por construção; agora uso \psi_z=N para encontrar g(z).

Passo 6

Calculo \psi_z:
\frac{\partial \psi}{\partial z} = -\tfrac{1}{2}\cos 2t - 2z\cos t + g'(z).
Pelo requisito de exatidão, deve valer \psi_z=N, ou seja:
-\tfrac{1}{2}\cos 2t - 2z\cos t + g'(z) = \sin^{2}t - 2 z \cos t.
Cancelando os termos iguais -2z\cos t em ambos os lados, resta:
g'(z) = \sin^{2}t + \tfrac{1}{2}\cos 2t.
À primeira vista parece depender de t, mas uso a identidade \cos 2t = 1 - 2\sin^{2}t. Substituindo:
\sin^{2}t + \tfrac{1}{2}\cos 2t = \sin^{2}t + \tfrac{1}{2}(1 - 2\sin^{2}t) = \sin^{2}t + \tfrac{1}{2} - \sin^{2}t = \tfrac{1}{2}.
Logo g'(z)=\tfrac{1}{2}, que é de fato função somente de z — perfeito.

Passo 7

Integro g'(z) para obter g(z):
g(z)=\int \tfrac{1}{2}\,dz = \tfrac{z}{2} + C,
onde C é constante.
Substituindo em \psi:
\psi(t,z) = -\tfrac{z}{2}\cos 2t - z^{2}\cos t + \tfrac{z}{2} + C.
A solução geral implícita da equação exata é
\psi(t,z) = \text{const.}

Passo 8

Aplicar a condição inicial \,z(0)=3 para determinar a constante.
Calculo \psi(0,3). Em t=0: \cos 2\cdot 0 = 1 e \cos 0 = 1. Então
\psi(0,3) = -\tfrac{3}{2}\cdot 1 - 9\cdot 1 + \tfrac{3}{2} + C = -9 + C.
Como \psi(0,3) deve ser igual à constante comum, podemos escolher C tal que \psi(0,3) = -9. Assim, a constante da solução implícita é -9.
Portanto a solução implícita é
-\tfrac{z}{2}\cos 2t - z^{2}\cos t + \tfrac{z}{2} = -9.
Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar e usando \cos 2t -1 = -2\sin^{2}t, obtemos uma forma mais limpa:
z\cos 2t + 2 z^{2}\cos t - z = 18.
Agrupando e simplificando leva a
2 z^{2}\cos t - 2 z\sin^{2}t = 18,
ou seja
z\bigl(z\cos t - \sin^{2}t\bigr)=9.
Reescrevendo de maneira habitual:
z^{2}\cos t - z\sin^{2}t = 9.
Essa é a solução implícita que satisfaz a condição inicial.

Passo 9

Se for desejável ter z explicitamente como função de t, note que a equação implícita é um polinômio quadrático em z:
\cos t\; z^{2} - \sin^{2}t\; z - 9 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática), para \cos t \neq 0 as raízes são
z(t)=\frac{\sin^{2}t \pm \sqrt{\sin^{4}t + 36\cos t}}{2\cos t}.
Para escolher o sinal correto, aplico a condição inicial z(0)=3. Em t=0 temos \sin^{2}0=0, \cos 0=1, então as raízes em t=0 são
z(0)=\frac{0\pm\sqrt{0+36}}{2}=\pm 3.
A condição inicial pede z(0)=3, portanto devemos escolher o sinal + na fórmula. Assim, a solução explícita contínua que passa por t=0 é
\boxed{\,z(t)=\dfrac{\sin^{2}t + \sqrt{\sin^{4}t + 36\cos t}}{2\cos t}\,}
(no intervalo onde \cos t\neq 0 e a raiz é real; perto de t=0 isso é válido).

Passo 10

Resumo motivador: a equação era exata — identificamos M e N, verificamos \partial M/\partial z=\partial N/\partial t, construímos a função potencial \psi, aplicamos a condição inicial e, se quiser, passamos da forma implícita para a explícita por Bhaskara escolhendo a raiz compatível com z(0)=3. Mandou bem por chegar até aqui — já é bastante conteúdo mastigado!

Resposta

\displaystyle z(t)=\dfrac{\sin^{2}t + \sqrt{\sin^{4}t + 36\cos t}}{2\cos t}

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