Determine o valor de k tal que a equação diferencial seja exata.
\left(6 x y^{3}+\cos y\right) d x+\left(2 k x^{2} y^{2}-x \operatorname{sen} y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o valor de k tal que a equação diferencial seja exata.”
A equação fornecida é
\left(6 x y^{3}+\cos y\right) dx+\left(2 k x^{2} y^{2}-x \sin y\right) dy=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função multiplicando dx é M(x,y)=6 x y^{3}+\cos y.
  • A função multiplicando dy é N(x,y)=2 k x^{2} y^{2}-x \sin y.
  • A incógnita a determinar é o parâmetro k.
  • A condição para a equação ser exata (a usar mais adiante) é que as derivadas parciais satisfaçam uma igualdade (ver passos seguintes).

Passo 2

O que significa ser uma equação exata (explicação didática): uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=M e \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N. Uma condição prática e necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vou aplicar essa condição ao M e N do problema.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial M}{\partial y}. Aqui M(x,y)=6 x y^{3}+\cos y.
Regras usadas: ao derivar em relação a y tratamos x como constante; a derivada de y^{3} é 3y^{2}; a derivada de \cos y é -\sin y.
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=6x\cdot 3y^{2} + (-\sin y)=18 x y^{2}-\sin y.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial N}{\partial x}. Aqui N(x,y)=2k x^{2} y^{2}-x\sin y.
Regras usadas: ao derivar em relação a x tratamos y como constante; a derivada de x^{2} é 2x; em 2k x^{2} y^{2} os fatores constantes são 2k y^{2}; a derivada de -x\sin y em relação a x é -\sin y (pois \sin y é constante na diferenciação por x).
Portanto
\frac{\partial N}{\partial x}=2k y^{2}\cdot 2x + (-\sin y)=4k x y^{2}-\sin y.

Passo 5

Aplicar a condição de exatidão: igualar as duas derivadas parciais obtidas.
18 x y^{2}-\sin y = 4k x y^{2}-\sin y.
Observação importante sobre os termos -\sin y: aparecem dos dois lados e podem ser cancelados, ficando
18 x y^{2}=4k x y^{2}.

Passo 6

Resolver para k. A igualdade acima deve valer para todos x e y do domínio considerado. Se x y^{2} não for identicamente zero no domínio aberto (ou seja, para valores gerais de x,y), pode-se dividir ambos os lados por x y^{2} e obter
18=4k.
Logo
k=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}.
Comentário sobre pontos onde x y^{2}=0: nesses pontos a igualdade 18 x y^{2}=4k x y^{2} é satisfeita para qualquer k, mas como a condição de exatidão deve valer em uma vizinhança (domínio) e não apenas em pontos isolados, impõe-se a igualdade dos coeficientes, daí k=\tfrac{9}{2}.

Resposta

\displaystyle k=\frac{9}{2}

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