Determine o valor de
tal que a equação diferencial seja exata.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o valor de
tal que a equação diferencial seja exata.”
A equação fornecida é
A equação fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função multiplicando
é . - A função multiplicando
é . - A incógnita a determinar é o parâmetro
. - A condição para a equação ser exata (a usar mais adiante) é que as derivadas parciais satisfaçam uma igualdade (ver passos seguintes).
Passo 2
O que significa ser uma equação exata (explicação didática): uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Uma condição prática e necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
Vou aplicar essa condição ao
e
do problema.
Passo 3
Calcular
. Aqui
.
Regras usadas: ao derivar em relação a
tratamos
como constante; a derivada de
é
; a derivada de
é
.
Portanto
Passo 4
Calcular
. Aqui
.
Regras usadas: ao derivar em relação a
tratamos
como constante; a derivada de
é
; em
os fatores constantes são
; a derivada de
em relação a
é
(pois
é constante na diferenciação por
).
Portanto
Passo 5
Aplicar a condição de exatidão: igualar as duas derivadas parciais obtidas.
Observação importante sobre os termos
: aparecem dos dois lados e podem ser cancelados, ficando
Passo 6
Resolver para
. A igualdade acima deve valer para todos
e
do domínio considerado. Se
não for identicamente zero no domínio aberto (ou seja, para valores gerais de
), pode-se dividir ambos os lados por
e obter
Logo
Comentário sobre pontos onde
: nesses pontos a igualdade
é satisfeita para qualquer
, mas como a condição de exatidão deve valer em uma vizinhança (domínio) e não apenas em pontos isolados, impõe-se a igualdade dos coeficientes, daí
.