Determine se a equação diferencial dada é:
\frac{d s}{d t}=\operatorname{tln}\left(r^{2}\right)+8 r^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{d s}{d t}= \operatorname{tln}\!\left(r^{2}\right)+8 r^{2}
e pede para “determinar se a equação diferencial dada é” — isto é, provavelmente quer que se classifique a equação (ordem, linearidade em s, separabilidade, autonomia, exatidão, etc.). Informações relevantes que temos:
  • A incógnita explícita diferenciada é s em relação a t: \dfrac{d s}{d t}.
  • No lado direito aparece t e r em \operatorname{tln}\!\left(r^{2}\right)+8 r^{2}.
  • O enunciado não afirma se r é:
    • (A) uma função conhecida de t (isto é, r=r(t) dada), ou
    • (B) uma outra incógnita acoplada (isto é, faz parte de um sistema com s e r), ou
    • (C) um erro de digitação e na verdade queria r=s.
  • Pergunta que vamos responder: classificar a equação sob as interpretações possíveis acima (ordem, linearidade em s, separável, autônoma, exata) e indicar consequência prática (como resolver quando possível).

Passo 2

Vou explicar rapidamente os conceitos que vou usar (com linguagem direta e exemplos curtinhos), para você entender cada classificação:
  • Ordem: a ordem é o maior número de derivadas que aparece. Se aparece só \dfrac{d s}{d t}, é primeira ordem.
  • Linearidade em s: uma equação de primeira ordem é linear em s se pode ser posta na forma a_1(t)\,\frac{d s}{d t}+a_0(t)\,s=b(t),onde a_1,a_0,b dependem só de t. Ex.: \dfrac{d s}{d t}+p(t)s=q(t) é linear. Se houver termos como s^2 ou \ln s a equação é não linear.
  • Separable (separável): \dfrac{d s}{d t}=F(s)\,G(t). A ideia é poder rearranjar para \dfrac{1}{F(s)}\,ds = G(t)\,dt e integrar ambos os lados. Ex.: \dfrac{d s}{d t}=s\cdot t é separável.
  • Autônoma: o membro direito depende apenas de s (não depende explicitamente de t). Ex.: \dfrac{d s}{d t}=f(s) é autônoma.
  • Exata (para forma diferencial): uma equação no formato M(t,s)\,dt+N(t,s)\,ds=0 é exata se \partial M/\partial s=\partial N/\partial t. Em prática, para equações da forma \dfrac{d s}{d t}=g(t,s) escrevemos -g(t,s)\,dt+ds=0 e verificamos.
Agora aplico esses conceitos ao nosso caso, lembrando que há ambiguidade sobre r. Vou analisar cada interpretação.

Passo 3

Se r é conhecida (ou é um parâmetro constante), então o lado direito
G(t)=\operatorname{tln}\!\left(r^{2}(t)\right)+8\,r^{2}(t)
é uma função conhecida de t (pode depender de t via r(t)). Classificações e consequências:
  • Ordem: é uma equação de primeira ordem porque aparece só \dfrac{d s}{d t}.
  • Linearidade em s: é linear em s. Porque pode ser escrita como 1\cdot\frac{d s}{d t}+0\cdot s = G(t).Aqui a_1(t)=1, a_0(t)=0, b(t)=G(t). É uma linear com coeficiente de s igual a zero (ou seja, a parte com s simplesmente não aparece).
  • Separable: é separável no sentido trivial, já que o membro direito não depende de s. Podemos escrever \frac{d s}{d t}=G(t)\quad\Rightarrow\quad ds = G(t)\,dt,e integrar.
  • Autônoma: não é autônoma (a menos que G(t) na prática seja constante), porque o RHS depende explicitamente de t (via r(t) ou pelo próprio t se r for constante).
  • Exata: escrito como -G(t)\,dt + ds = 0,temos M(t,s)=-G(t) e N(t,s)=1. Então \partial M/\partial s=0 e \partial N/\partial t=0, ou seja, são iguais, logo a forma é exata — isto é coerente com o fato de que a solução é obtida por integração direta.
Solução prática (quando r(t) é conhecida): integrar
s(t)=\int \bigl(t\ln(r(t)^2)+8\,r(t)^2\bigr)\,dt + C.
Observação: para obter uma expressão numérica é preciso conhecer r(t). Se r for constante, dá para integrar explicitamente: por exemplo, se r(t)=r_0 constante então
s(t)=\int \bigl(t\ln(r_0^2)+8r_0^2\bigr)\,dt = \frac{1}{2}t^{2}\ln(r_0^2)+8r_0^2 t + C.

Passo 4

Se r não for dada e, em vez disso, r=r(t) é uma função desconhecida que satisfaz alguma outra equação (isto é, temos um sistema em s e r), então:
  • A equação apresentada não é uma equação escalar independente para s; é apenas uma das equações do sistema. Sozinha ela não determina s porque o RHS depende de r(t) desconhecida.
  • Quanto à forma, ainda é linear em s (porque não aparece s no RHS), mas não é uma equação isolada resolvível por integração direta sem conhecer r(t).
  • Conclusão prática: é necessário conhecer a equação adicional que governa r(t) para poder resolver o sistema; sem essa equação não se pode integrar explicitamente s(t).

Passo 5

Se o enunciado teve um erro e deveria ser
\frac{d s}{d t}= t\ln\!\bigl(s^{2}\bigr)+8\,s^{2},
a classificação muda bastante:
  • Ordem: continua sendo primeira ordem.
  • Linearidade em s: agora a equação é não linear em s porque aparecem \ln(s^{2}) e s^{2}.
  • Separable: não é separável no sentido padrão \dfrac{d s}{d t}=F(s)\,G(t), porque o RHS é t\cdot\ln(s^{2})+8s^{2}, que não se escreve como produto de função de s por função de t.
  • Autônoma: não é autônoma porque há dependência explícita em t.
  • Exata: a forma -\bigl(t\ln(s^2)+8s^2\bigr)\,dt + ds=0 tem M(t,s)=-\bigl(t\ln(s^2)+8s^2\bigr) e N(t,s)=1. Aqui \partial M/\partial s não é igual a \partial N/\partial t (porque \partial N/\partial t=0 e \partial M/\partial s\neq0), então não é exata.
  • Solução: seria uma ODE não linear que exigiria técnicas específicas (p.ex. tentativa de substituição, métodos numéricos, ou sistema equivalente). Não é uma das formas “fáceis” (linear, separável, exata), então exigiria tratamento diferente.

Passo 6

  • Se r for uma função conhecida de t (ou um parâmetro): a equação é de primeira ordem, linear em s (coeficiente de s nulo), separável (trivialmente) e exata; a solução é s(t)=\int\bigl(t\ln(r(t)^2)+8\,r(t)^2\bigr)\,dt + C.
  • Se r for uma incógnita adicional (sistema): a equação é linear em s mas não está fechada — é preciso a equação para r(t) para resolver.
  • Se o correto era r=s: a equação é não linear, não separável nem exata em geral, e requer outro tipo de abordagem.
Força aí — se você me disser qual das interpretações (A, B ou C) é a que o professor queria, eu já te mostro a resolução passo a passo da solução explícita (ou mostro como resolver o sistema / tratar a equação não linear).

Resposta

Se r é função conhecida de t: primeira ordem, linear em s (coeficiente de s nulo), separável (trivial) e exata; solução s(t)=\displaystyle\int\bigl(t\ln(r(t)^2)+8\,r(t)^2\bigr)\,dt + C.
Se r é incógnita acoplada: é linear em s mas a equação não está fechada (precisa da equação para r).
Se na verdade r=s: é primeira ordem não linear, não linear em s, não separável nem exata em geral.

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