Determine se a equação diferencial dada é:
\frac{d s}{d t}=\operatorname{tln}\left(r^{2}\right)+8 r^{2}
\frac{d s}{d t}=\operatorname{tln}\left(r^{2}\right)+8 r^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para “determinar se a equação diferencial dada é” — isto é, provavelmente quer que se classifique a equação (ordem, linearidade em
, separabilidade, autonomia, exatidão, etc.). Informações relevantes que temos:
- A incógnita explícita diferenciada é
em relação a : . - No lado direito aparece
e em . - O enunciado não afirma se
é: - (A) uma função conhecida de
(isto é, dada), ou - (B) uma outra incógnita acoplada (isto é, faz parte de um sistema com
e ), ou - (C) um erro de digitação e na verdade queria
.
- (A) uma função conhecida de
- Pergunta que vamos responder: classificar a equação sob as interpretações possíveis acima (ordem, linearidade em
, separável, autônoma, exata) e indicar consequência prática (como resolver quando possível).
Passo 2
Vou explicar rapidamente os conceitos que vou usar (com linguagem direta e exemplos curtinhos), para você entender cada classificação:
- Ordem: a ordem é o maior número de derivadas que aparece. Se aparece só
, é primeira ordem. - Linearidade em
: uma equação de primeira ordem é linear em se pode ser posta na forma onde dependem só de . Ex.: é linear. Se houver termos como ou a equação é não linear. - Separable (separável):
. A ideia é poder rearranjar para e integrar ambos os lados. Ex.: é separável. - Autônoma: o membro direito depende apenas de
(não depende explicitamente de ). Ex.: é autônoma. - Exata (para forma diferencial): uma equação no formato
é exata se . Em prática, para equações da forma escrevemos e verificamos.
Agora aplico esses conceitos ao nosso caso, lembrando que há ambiguidade sobre
. Vou analisar cada interpretação.
Passo 3
Se
é conhecida (ou é um parâmetro constante), então o lado direito
é uma função conhecida de
(pode depender de
via
). Classificações e consequências:
- Ordem: é uma equação de primeira ordem porque aparece só
. - Linearidade em
: é linear em . Porque pode ser escrita como Aqui , , . É uma linear com coeficiente de igual a zero (ou seja, a parte com simplesmente não aparece). - Separable: é separável no sentido trivial, já que o membro direito não depende de
. Podemos escrever e integrar. - Autônoma: não é autônoma (a menos que
na prática seja constante), porque o RHS depende explicitamente de (via ou pelo próprio se for constante). - Exata: escrito como
temos e . Então e , ou seja, são iguais, logo a forma é exata — isto é coerente com o fato de que a solução é obtida por integração direta.
Solução prática (quando
é conhecida): integrar
Observação: para obter uma expressão numérica é preciso conhecer
. Se
for constante, dá para integrar explicitamente: por exemplo, se
constante então
Passo 4
Se
não for dada e, em vez disso,
é uma função desconhecida que satisfaz alguma outra equação (isto é, temos um sistema em
e
), então:
- A equação apresentada não é uma equação escalar independente para
; é apenas uma das equações do sistema. Sozinha ela não determina porque o RHS depende de desconhecida. - Quanto à forma, ainda é linear em
(porque não aparece no RHS), mas não é uma equação isolada resolvível por integração direta sem conhecer . - Conclusão prática: é necessário conhecer a equação adicional que governa
para poder resolver o sistema; sem essa equação não se pode integrar explicitamente .
Passo 5
Se o enunciado teve um erro e deveria ser
a classificação muda bastante:
- Ordem: continua sendo primeira ordem.
- Linearidade em
: agora a equação é não linear em porque aparecem e . - Separable: não é separável no sentido padrão
, porque o RHS é , que não se escreve como produto de função de por função de . - Autônoma: não é autônoma porque há dependência explícita em
. - Exata: a forma
tem e . Aqui não é igual a (porque e ), então não é exata. - Solução: seria uma ODE não linear que exigiria técnicas específicas (p.ex. tentativa de substituição, métodos numéricos, ou sistema equivalente). Não é uma das formas “fáceis” (linear, separável, exata), então exigiria tratamento diferente.
Passo 6
- Se
for uma função conhecida de (ou um parâmetro): a equação é de primeira ordem, linear em (coeficiente de nulo), separável (trivialmente) e exata; a solução é - Se
for uma incógnita adicional (sistema): a equação é linear em mas não está fechada — é preciso a equação para para resolver. - Se o correto era
: a equação é não linear, não separável nem exata em geral, e requer outro tipo de abordagem.
Força aí — se você me disser qual das interpretações (A, B ou C) é a que o professor queria, eu já te mostro a resolução passo a passo da solução explícita (ou mostro como resolver o sistema / tratar a equação não linear).
Resposta
Se
é função conhecida de
: primeira ordem, linear em
(coeficiente de
nulo), separável (trivial) e exata; solução
.
Se é incógnita acoplada: é linear em
mas a equação não está fechada (precisa da equação para
).
Se na verdade : é primeira ordem não linear, não linear em
, não separável nem exata em geral.
Se
Se na verdade