(Comentário didático rápido: outra maneira seria usar y=\tan\theta e ver que o integrando vira \cos\theta\,d\theta, também levando ao mesmo resultado; aqui a observação da derivada de y/\sqrt{1+y^2} é mais direta.)
Passo 5
Cálculo da integral à direita.
\int 3 x^{2}\,dx = x^{3}+C_2.
Juntando as duas integrais e absorvendo as constantes numa única constante C (por exemplo C=C_2-C_1), obtemos a forma implícita da solução:
\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}=x^{3}+C.
Passo 6
Interpretação e domínio.
A função \dfrac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} tem imagem no intervalo (-1,1); portanto para existir y real e finito é necessário que
\bigl|x^{3}+C\bigr|<1.
Se \bigl|x^{3}+C\bigr|=1 ocorre o caso limite (tende-se a y\to\pm\infty), e se \bigl|x^{3}+C\bigr|>1 não existe solução real finita y que satisfaça a igualdade explícita. Em provas, é importante mencionar essa restrição de domínio.
Passo 7
Resolver explicitamente para y (opcional, mas útil).
Partindo de
com a condição de existência \bigl|x^{3}+C\bigr|<1.
Passo 8
Resumo prático (como usar na prova).
Separe as variáveis: coloque todos os termos em y multiplicando dy e termos em x multiplicando dx.
Procure reconhecer primitivas óbvias; aqui a função \dfrac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} tem derivada (1+y^{2})^{-3/2}, que é exatamente o integrando.
Integre, junte as constantes e, se pedido, isole y. Não esqueça de anunciar as restrições de domínio (a expressão à direita deve estar no intervalo (-1,1)).