Resolva a equação:
\frac{d y}{d x}=3 x{2}\left(1+y{2}\right)^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=3 x^{2}\bigl(1+y^{2}\bigr)^{3/2},
e pede encontrar a solução y(x) geral (constante de integração incluida). Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona a derivada de y com x e y.
  • Não há condições iniciais; portanto vamos buscar a família de soluções com uma constante arbitrária.
  • Deve-se tomar cuidado com o domínio: expressões com raízes e frações podem impor restrições aos valores de x e da constante de integração.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para separar os termos que dependem de y dos que dependem de x (separação de variáveis). A equação é
\frac{d y}{d x}=3 x^{2}\bigl(1+y^{2}\bigr)^{3/2}.
Dividindo ambos os lados por \bigl(1+y^{2}\bigr)^{3/2} e multiplicando por dx, obtemos
\frac{d y}{\bigl(1+y^{2}\bigr)^{3/2}}=3 x^{2}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: tudo em y do lado esquerdo e tudo em x do lado direito.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Escrevendo a integral indefinida:
\int \frac{d y}{\bigl(1+y^{2}\bigr)^{3/2}}=\int 3 x^{2}\,dx.
Vamos calcular cada integral com calma.

Passo 4

Cálculo da integral à esquerda.
Reconhecemos uma derivada conveniente: considerar a função
u(y)=\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}.
Vamos computar u'(y) para ver se coincide com o integrando.
Usando a regra do quociente (ou produto), temos
u'(y) =\frac{\sqrt{1+y^{2}}-y\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+y^{2}}}\cdot 2y}{1+y^{2}} =\frac{\sqrt{1+y^{2}}-\dfrac{y^{2}}{\sqrt{1+y^{2}}}}{1+y^{2}}.
Colocando sobre o denominador comum \sqrt{1+y^{2}} no numerador:
u'(y) =\frac{\dfrac{1+y^{2}-y^{2}}{\sqrt{1+y^{2}}}}{1+y^{2}} =\frac{1}{(1+y^{2})^{3/2}}.
Portanto
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\right)=\frac{1}{(1+y^{2})^{3/2}},
ou seja a integral é imediata:
\int \frac{d y}{\bigl(1+y^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}+C_1.
(Comentário didático rápido: outra maneira seria usar y=\tan\theta e ver que o integrando vira \cos\theta\,d\theta, também levando ao mesmo resultado; aqui a observação da derivada de y/\sqrt{1+y^2} é mais direta.)

Passo 5

Cálculo da integral à direita.
\int 3 x^{2}\,dx = x^{3}+C_2.
Juntando as duas integrais e absorvendo as constantes numa única constante C (por exemplo C=C_2-C_1), obtemos a forma implícita da solução:
\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}=x^{3}+C.

Passo 6

Interpretação e domínio.
A função \dfrac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} tem imagem no intervalo (-1,1); portanto para existir y real e finito é necessário que
\bigl|x^{3}+C\bigr|<1.
Se \bigl|x^{3}+C\bigr|=1 ocorre o caso limite (tende-se a y\to\pm\infty), e se \bigl|x^{3}+C\bigr|>1 não existe solução real finita y que satisfaça a igualdade explícita. Em provas, é importante mencionar essa restrição de domínio.

Passo 7

Resolver explicitamente para y (opcional, mas útil).
Partindo de
\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}=A,\qquad\text{onde }A:=x^{3}+C,
multiplicando ambos os lados por \sqrt{1+y^{2}} e elevando ao quadrado:
y^{2}=A^{2}(1+y^{2}).
Rearranjando,
y^{2}\bigl(1-A^{2}\bigr)=A^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{A^{2}}{1-A^{2}}.
Como o sinal de y deve coincidir com o sinal de A (veja a equação original y/\sqrt{1+y^2}=A), obtemos
y=\frac{A}{\sqrt{1-A^{2}}}=\frac{x^{3}+C}{\sqrt{1-(x^{3}+C)^{2}}},
com a condição de existência \bigl|x^{3}+C\bigr|<1.

Passo 8

Resumo prático (como usar na prova).
  • Separe as variáveis: coloque todos os termos em y multiplicando dy e termos em x multiplicando dx.
  • Procure reconhecer primitivas óbvias; aqui a função \dfrac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} tem derivada (1+y^{2})^{-3/2}, que é exatamente o integrando.
  • Integre, junte as constantes e, se pedido, isole y. Não esqueça de anunciar as restrições de domínio (a expressão à direita deve estar no intervalo (-1,1)).

Resposta

\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}=x^{3}+C
\text{ou explicitamente}\qquad y=\frac{x^{3}+C}{\sqrt{1-(x^{3}+C)^{2}}},\quad\text{com }\bigl|x^{3}+C\bigr|<1.

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