Determine se a equação diferencial dada é separável:

Passo 1

Vamos começar resumindo o que precisamos fazer. A equação que temos é (x y^2+3 y^2) d y -2 x d x=0. Nosso objetivo é descobrir se essa equação diferencial é separável. Para isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis x e y em lados diferentes da equação, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar tudo de um jeito mais claro. Vamos mover o termo com dx para o outro lado:
(x y^2 + 3 y^2) dy = 2x dx

Passo 3

Agora, vamos fatorar o y^2 do lado esquerdo para simplificar:
y^2 (x + 3) dy = 2x dx

Passo 4

O próximo passo é tentar separar as variáveis x e y. Vamos dividir ambos os lados da equação por y^2(x + 3):
dy = 2xy^2(x + 3) dx

Passo 5

Observando a equação acima, percebemos que o lado direito ainda mistura x e y de uma forma que não permite separar completamente as variáveis. Ou seja, não conseguimos isolar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro lado.

Resposta

Não, a equação diferencial dada não é separável.

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