determine se a equação diferencial dada é separável:
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a equação diferencial dada é separável. A equação fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem na variável
em função de . - O lado direito é a soma de dois termos:
e . - A pergunta é somente verificar se essa equação pode ser escrita na forma separável (isto é, se pode ser escrita como produto de uma função só de
por uma função só de ).
Passo 2
O que significa “ser separável”?
Uma equação de primeira ordem é separável se puder ser escrita na forma
Uma equação de primeira ordem é separável se puder ser escrita na forma
isto é, o lado direito é um produto de uma função que depende só de
por outra que depende só de
. Equivalente é escrever
e então integrar cada lado separadamente. Exemplos rápidos para fixar a ideia:
-
é separável porque é e . -
NÃO é separável, porque não se consegue escrever como produto para todas as .
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dada para ver sua estrutura. Use a identidade do logaritmo:
Então a equação fica
Factorizando
em comum:
Aqui vemos que o lado direito é
multiplicado por
. Para ser separável precisamos que o fator que multiplica
dependa somente de
. Porém esse fator contém um termo
que depende de
. Portanto a escrita direta mostra já que não é do tipo
.
Passo 4
Vamos dar um argumento mais rígido por contradição (para ter certeza): suponha que exista decomposição separável
válida para todos
em algum domínio. Reescrevendo,
Fixando
e derivando em relação a
, obtemos (derivada do lado esquerdo em
):
O lado esquerdo é uma função afim em
com coeficiente de
igual a
, enquanto o lado direito é um produto de uma função que depende só de
por
que depende só de
. Para essa igualdade ser verdadeira para todos
,
teria que ser constante (pois o termo
não pode surgir multiplicado por uma função de
variável). Se
fosse constante, então da expressão original
seguiria que
é função de
apenas, o que é impossível porque
varia com
. Isso é contradição. Logo não existe tal separação
.
Passo 5
Também é útil comentar que nenhuma substituição óbvia torna a equação separável: por exemplo, se tentarmos
(ou
) e reescrever a equação em termos de
, o acoplamento entre
e
persiste e a equação resultante não fica na forma produto
. Ou seja, não é separável nem por manipulação simples.
Resposta
Não, a equação diferencial
não é separável.