determine se a equação diferencial dada é separável:
\frac{d s}{d t}=t \ln \left(s^{2}\right)+8 t^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a equação diferencial dada é separável. A equação fornecida é
\frac{d s}{d t}=t \ln\!\left(s^{2}\right)+8 t^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem na variável s em função de t.
  • O lado direito é a soma de dois termos: t \ln\!\left(s^{2}\right) e 8t^{2}.
  • A pergunta é somente verificar se essa equação pode ser escrita na forma separável (isto é, se pode ser escrita como produto de uma função só de s por uma função só de t).

Passo 2

O que significa “ser separável”?
Uma equação de primeira ordem é separável se puder ser escrita na forma
\frac{d s}{d t}=F(t)\,G(s),
isto é, o lado direito é um produto de uma função que depende só de t por outra que depende só de s. Equivalente é escrever
\frac{1}{G(s)}\,d s = F(t)\,d t,
e então integrar cada lado separadamente. Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • \dfrac{d s}{d t}=t\cdot s^{2} é separável porque é F(t)=t e G(s)=s^{2}.
  • \dfrac{d s}{d t}=t+s NÃO é separável, porque não se consegue escrever t+s como produto F(t)G(s) para todas as t,s.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dada para ver sua estrutura. Use a identidade do logaritmo:
\ln\!\left(s^{2}\right)=2\ln|s|.
Então a equação fica
\frac{d s}{d t}=2t\ln|s|+8t^{2}.
Factorizando t em comum:
\frac{d s}{d t}=t\bigl(2\ln|s|+8t\bigr).
Aqui vemos que o lado direito é t multiplicado por \bigl(2\ln|s|+8t\bigr). Para ser separável precisamos que o fator que multiplica t dependa somente de s. Porém esse fator contém um termo 8t que depende de t. Portanto a escrita direta mostra já que não é do tipo F(t)\cdot G(s).

Passo 4

Vamos dar um argumento mais rígido por contradição (para ter certeza): suponha que exista decomposição separável
t\bigl(2\ln|s|+8t\bigr)=A(s)\,B(t)
válida para todos s,t em algum domínio. Reescrevendo,
2t\ln|s|+8t^{2}=A(s)B(t).
Fixando s e derivando em relação a t, obtemos (derivada do lado esquerdo em t):
2\ln|s|+16t = A(s)B'(t).
O lado esquerdo é uma função afim em t com coeficiente de t igual a 16, enquanto o lado direito é um produto de uma função que depende só de s por B'(t) que depende só de t. Para essa igualdade ser verdadeira para todos s,t, A(s) teria que ser constante (pois o termo 16t não pode surgir multiplicado por uma função de s variável). Se A(s) fosse constante, então da expressão original 2t\ln|s|+8t^{2}=A\cdot B(t) seguiria que 2t\ln|s| é função de t apenas, o que é impossível porque \ln|s| varia com s. Isso é contradição. Logo não existe tal separação A(s)B(t).

Passo 5

Também é útil comentar que nenhuma substituição óbvia torna a equação separável: por exemplo, se tentarmos y=\ln\!\left(s^{2}\right) (ou y=\ln|s|) e reescrever a equação em termos de y, o acoplamento entre t e s persiste e a equação resultante não fica na forma produto F(t)G(y). Ou seja, não é separável nem por manipulação simples.

Resposta

Não, a equação diferencial \dfrac{d s}{d t}=t \ln\!\left(s^{2}\right)+8 t^{2} não é separável.

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