Se |\phi_{1}\rangle,|\phi_{2}\rangle e |\phi_{3}\rangle é uma base ortonormal e:
\begin{aligned} & |A\rangle=i\left|\phi_{1}\right\rangle-2\left|\phi_{2}\right\rangle+5\left|\phi_{3}\right\rangle \\\ & |B\rangle=-3\left|\phi_{1}\right\rangle+4\left|\phi_{2}\right\rangle+3 i\left|\phi_{3}\right\rangle \\\ & \alpha=3 i \end{aligned}
Determine:
|\tilde{B}\rangle

Passo 1

O enunciado dá uma base ortonormal \{|\phi_{1}\rangle,|\phi_{2}\rangle,|\phi_{3}\rangle\} e os vetores
|A\rangle=i\left|\phi_{1}\right\rangle-2\left|\phi_{2}\right\rangle+5\left|\phi_{3}\right\rangle, \qquad |B\rangle=-3\left|\phi_{1}\right\rangle+4\left|\phi_{2}\right\rangle+3 i\left|\phi_{3}\right\rangle,
além do escalar \alpha=3 i. A pergunta é determinar |\tilde{B}\rangle.
Observação importante (o que vou usar): é comum em exercícios definir |\tilde{B}\rangle como a combinação linear
|\tilde{B}\rangle = |B\rangle - \alpha\,|A\rangle,
ou seja, subtrair de |B\rangle o múltiplo \alpha de |A\rangle. Aqui o valor de \alpha já é dado e coincide com o que anularia o componente em |\phi_{1}\rangle de |B\rangle-\alpha|A\rangle, então vamos calcular exatamente essa combinação.

Passo 2

Regra prática para calcular uma combinação linear em uma base ortonormal: basta combinar coeficiente a coeficiente. Se
|A\rangle = a_1|\phi_1\rangle + a_2|\phi_2\rangle + a_3|\phi_3\rangle \quad\text{e}\quad |B\rangle = b_1|\phi_1\rangle + b_2|\phi_2\rangle + b_3|\phi_3\rangle,
então
|B\rangle - \alpha|A\rangle = (b_1-\alpha a_1)|\phi_1\rangle + (b_2-\alpha a_2)|\phi_2\rangle + (b_3-\alpha a_3)|\phi_3\rangle.
Vou aplicar isso com os coeficientes dados. Lembrete rápido sobre multiplicação de complexos: i\cdot i = i^2 = -1, e c\cdot (x+yi) = cx + cyi usando as regras usuais.

Passo 3

Identifico os coeficientes:
a_1 = i,\quad a_2 = -2,\quad a_3 = 5, \qquad b_1 = -3,\quad b_2 = 4,\quad b_3 = 3i, \qquad \alpha = 3i.
Calculo \alpha a_j para cada componente:
\alpha a_1 = 3i\cdot i = 3i^2 = 3(-1) = -3,
\alpha a_2 = 3i\cdot(-2) = -6i,
\alpha a_3 = 3i\cdot 5 = 15i.

Passo 4

Agora subtraio componente a componente:
  • Componente em |\phi_1\rangle:
b_1 - \alpha a_1 = -3 - (-3) = 0.
  • Componente em |\phi_2\rangle:
b_2 - \alpha a_2 = 4 - (-6i) = 4 + 6i.
  • Componente em |\phi_3\rangle:
b_3 - \alpha a_3 = 3i - 15i = -12i.

Passo 5

Reescrevo o resultado como combinação linear na base ortonormal:
|\tilde{B}\rangle = 0\cdot\left|\phi_{1}\right\rangle + (4+6i)\left|\phi_{2}\right\rangle -12i\left|\phi_{3}\right\rangle.
Como o coeficiente de |\phi_{1}\rangle é zero, posso omiti-lo.

Resposta

|\tilde{B}\rangle = (4+6i)\left|\phi_{2}\right\rangle -12i\left|\phi_{3}\right\rangle

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