determine se a equação diferencial dada é separável: \frac{d y}{d x}=\frac{y e^{x+y}}{x^{2}+2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y\,e^{x+y}}{x^{2}+2},
e pede para determinar se essa equação é separável.
Informações fornecidas:
A expressão do lado direito é \dfrac{y\,e^{x+y}}{x^{2}+2}.
Não há condições iniciais nem outras restrições dadas.
Passo 2
O que significa “ser separável”? Vou explicar devagarinho: uma equação diferencial de primeira ordem é separável se ela puder ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y),
ou, equivalentemente, se puder ser reorganizada como
\frac{1}{g(y)}\,dy = f(x)\,dx.
Aqui f(x) é uma função que depende só de x e g(y) é uma função que depende só de y. Quando conseguimos isso, as variáveis foram “separadas” e podemos integrar cada lado em sua variável.
Passo 3
Vamos manipular o lado direito dado para ver se dá para separar as variáveis. Usamos a propriedade do exponencial
Portanto a equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y), ou seja, é separável. Para escrever explicitamente a forma separada, dividimos ambos os lados por y\,e^{y} (assumindo provisoriamente y\,e^{y}\neq0) e multiplicamos por dx:
\frac{1}{y\,e^{y}}\,dy=\frac{e^{x}}{x^{2}+2}\,dx.
Observação: em termos algébricos isso já prova a separabilidade.
Passo 5
Importante notar uma coisa prática para a prova: ao dividir por y\,e^{y} estamos assumindo que y\,e^{y}\neq0. Como e^{y} nunca se anula, a única situação excluída nessa divisão é y=0. Porém y\equiv0 (função identicamente zero) é uma solução da equação original, porque substituindo y=0 obtemos dy/dx=0. Logo:
A separação acima é válida para soluções com y\neq0.
A solução constante y\equiv0 deve ser mencionada separadamente (é solução trivial).
Passo 6
Se quisermos escrever a solução de forma implícita (para y\neq0), basta integrar ambos os lados:
\int \frac{1}{y\,e^{y}}\,dy=\int \frac{e^{x}}{x^{2}+2}\,dx + C.
Note que \dfrac{1}{y\,e^{y}}=e^{-y}/y, então o lado esquerdo é \int e^{-y}/y\,dy, que envolve a função integral exponencial \operatorname{Ei} (não elementar). O lado direito \int \dfrac{e^{x}}{x^{2}+2}\,dx também não tem primitiva elementar simples. Isso não impede a separação — apenas indica que a solução explícita usa funções especiais.
Resposta
Sim. A equação é separável; forma separada \displaystyle \frac{1}{y\,e^{y}}\,dy=\frac{e^{x}}{x^{2}+2}\,dx. Além disso y\equiv0 é solução trivial.