Observação importante: o enunciado que você me passou não definiu explicitamente o que significa |\tilde{A}\rangle. Existem várias convenções frequentes em exercícios de mecânica quântica/álgebra vetorial para notação com til (~). As mais comuns são:
vetor normalizado associado a |A\rangle, i.e. |\tilde{A}\rangle = \dfrac{|A\rangle}{\|A\|};
vetor obtido pela ortogonalização de |A\rangle em relação a |B\rangle (Gram–Schmidt), i.e. |\tilde{A}\rangle = |A\rangle - \dfrac{\langle B|A\rangle}{\langle B|B\rangle}\,|B\rangle (às vezes seguido de normalização);
ou uma combinação linear com o escalar dado, por exemplo |\tilde{A}\rangle = |A\rangle + \alpha |B\rangle.
Vou calcular passo a passo essas três interpretações comuns. Se você tiver uma definição diferente em mente, me diga depois, mas por enquanto vou fornecer essas respostas completas para você não ficar sem nada na prova.
Passo 2
Primeiro: regras básicas sobre produtos internos e norma numa base ortonormal (rápida explicação didática).
Se |V\rangle = v_1|\phi_1\rangle + v_2|\phi_2\rangle + v_3|\phi_3\rangle então o bra correspondente é\langle V| = v_1^* \langle\phi_1| + v_2^* \langle\phi_2| + v_3^* \langle\phi_3|.O asterisco ^{*} indica conjugação complexa.
O produto interno entre dois vetores |U\rangle = u_1|\phi_1\rangle+\cdots e |V\rangle = v_1|\phi_1\rangle+\cdots é\langle U|V\rangle = u_1^* v_1 + u_2^* v_2 + u_3^* v_3,porque a base é ortonormal.
A norma é \|V\| = \sqrt{\langle V|V\rangle}.
Usaremos isso para todos os cálculos.
Passo 3
Calcular \langle A|A\rangle. Os coeficientes de |A\rangle são i,\\\ -2,\\\ 5. Então