Se |\phi_{1}\rangle,|\phi_{2}\rangle e |\phi_{3}\rangle é uma base ortonormal e:
\begin{aligned} & |A\rangle=i\left|\phi_{1}\right\rangle-2\left|\phi_{2}\right\rangle+5\left|\phi_{3}\right\rangle \\\ & |B\rangle=-3\left|\phi_{1}\right\rangle+4\left|\phi_{2}\right\rangle+3 i\left|\phi_{3}\right\rangle \\\ & \alpha=3 i \end{aligned}
Determine:
|\tilde{A}\rangle

Passo 1

O enunciado fornece (peguei tudo do texto que você enviou):
  • Uma base ortonormal \{|\phi_{1}\rangle,|\phi_{2}\rangle,|\phi_{3}\rangle\}.
  • Dois vetores: |A\rangle = i|\phi_{1}\rangle - 2|\phi_{2}\rangle + 5|\phi_{3}\rangle, \qquad |B\rangle = -3|\phi_{1}\rangle + 4|\phi_{2}\rangle + 3i|\phi_{3}\rangle.
  • Um escalar \alpha = 3i.
O pedido é: determinar |\tilde{A}\rangle.
Observação importante: o enunciado que você me passou não definiu explicitamente o que significa |\tilde{A}\rangle. Existem várias convenções frequentes em exercícios de mecânica quântica/álgebra vetorial para notação com til (~). As mais comuns são:
  • vetor normalizado associado a |A\rangle, i.e. |\tilde{A}\rangle = \dfrac{|A\rangle}{\|A\|};
  • vetor obtido pela ortogonalização de |A\rangle em relação a |B\rangle (Gram–Schmidt), i.e. |\tilde{A}\rangle = |A\rangle - \dfrac{\langle B|A\rangle}{\langle B|B\rangle}\,|B\rangle (às vezes seguido de normalização);
  • ou uma combinação linear com o escalar dado, por exemplo |\tilde{A}\rangle = |A\rangle + \alpha |B\rangle.
Vou calcular passo a passo essas três interpretações comuns. Se você tiver uma definição diferente em mente, me diga depois, mas por enquanto vou fornecer essas respostas completas para você não ficar sem nada na prova.

Passo 2

Primeiro: regras básicas sobre produtos internos e norma numa base ortonormal (rápida explicação didática).
  • Se |V\rangle = v_1|\phi_1\rangle + v_2|\phi_2\rangle + v_3|\phi_3\rangle então o bra correspondente é \langle V| = v_1^* \langle\phi_1| + v_2^* \langle\phi_2| + v_3^* \langle\phi_3|.O asterisco ^{*} indica conjugação complexa.
  • O produto interno entre dois vetores |U\rangle = u_1|\phi_1\rangle+\cdots e |V\rangle = v_1|\phi_1\rangle+\cdots é \langle U|V\rangle = u_1^* v_1 + u_2^* v_2 + u_3^* v_3,porque a base é ortonormal.
  • A norma é \|V\| = \sqrt{\langle V|V\rangle}.
Usaremos isso para todos os cálculos.

Passo 3

Calcular \langle A|A\rangle. Os coeficientes de |A\rangle são i,\\\ -2,\\\ 5. Então
\langle A|A\rangle = (i)^*(i) + (-2)^*(-2) + (5)^*(5) = (-i)(i) + 4 + 25.
Como (-i)(i) = 1, temos
\langle A|A\rangle = 1 + 4 + 25 = 30.
Logo \|A\| = \sqrt{30}.
O vetor normalizado (interpretação 1) é
|\tilde{A}\rangle_{\text{(norm)}} = \frac{|A\rangle}{\|A\|} = \frac{1}{\sqrt{30}}\bigl(i|\phi_1\rangle - 2|\phi_2\rangle + 5|\phi_3\rangle\bigr).

Passo 4

Coeficientes de |B\rangle são -3,\\\ 4,\\\ 3i. Então o bra \langle B| tem coeficientes complexos conjugados -3,\\\ 4,\\\ -3i.
Calculemos
\langle B|A\rangle = (-3)^*(i) + 4^*(-2) + (-3i)^*(5).
Clarificando a conjugação: (-3)^*= -3,\\\ 4^*=4,\\ (-3i)^* = -3(-i)? — cuidado: (3i)^* = -3i. Assim
\langle B|A\rangle = (-3)\,i + 4(-2) + (-3i)\,5 = -3i -8 -15i = -8 -18i.
Agora \langle B|B\rangle (norma ao quadrado de B):
\langle B|B\rangle = (-3)^*(-3) + 4^*4 + (3i)^*(3i) = 9 + 16 + 9 = 34.

Passo 5

A fórmula (vetor de |A\rangle removendo a componente em |B\rangle) é
|\tilde{A}\rangle_{\text{(GS,unnorm)}} = |A\rangle - \frac{\langle B|A\rangle}{\langle B|B\rangle}\,|B\rangle.
Calculemos o coeficiente escalar
c := \frac{\langle B|A\rangle}{\langle B|B\rangle} = \frac{-8 -18i}{34} = \frac{-4 -9i}{17}.
Agora subtrair c|B\rangle. Vamos escrever componente a componente (lembre que B tem componentes -3,4,3i):
Componente em |\phi_1\rangle:
\text{(coef)}_1 = i - c\cdot(-3) = i + 3c.
Com 3c = 3\frac{-4-9i}{17} = \frac{-12-27i}{17}, obtemos
\text{(coef)}_1 = i + \frac{-12-27i}{17} = \frac{-12 -10i}{17}.
Componente em |\phi_2\rangle:
\text{(coef)}_2 = -2 - c\cdot 4 = -2 -4c.
Com 4c = \frac{-16-36i}{17},
\text{(coef)}_2 = -2 - \frac{-16-36i}{17} = \frac{-18 +36i}{17}.
Componente em |\phi_3\rangle:
\text{(coef)}_3 = 5 - c\cdot(3i) = 5 - 3i c.
Calcule 3i c = 3i\frac{-4-9i}{17} = \frac{27 -12i}{17} (observando i(-9i) = -9 i^2 = +9), então
\text{(coef)}_3 = 5 - \frac{27 -12i}{17} = \frac{58 +12i}{17}.
Portanto o vetor ortogonal (não normalizado) é
|\tilde{A}\rangle_{\text{(GS,unnorm)}} = \frac{-12 -10i}{17}|\phi_1\rangle + \frac{-18 +36i}{17}|\phi_2\rangle + \frac{58 +12i}{17}|\phi_3\rangle.

Passo 6

Se você precisar do vetor ortogonal normalizado (Gram–Schmidt completo), calcule primeiro a norma ao quadrado:
\begin{aligned} \langle \tilde{A}|\tilde{A}\rangle &= \left|\frac{-12-10i}{17}\right|^2 + \left|\frac{-18+36i}{17}\right|^2 + \left|\frac{58+12i}{17}\right|^2 \\\ &= \frac{244}{289} + \frac{1620}{289} + \frac{3508}{289} = \frac{5372}{289}. \end{aligned}
Simplificando \dfrac{5372}{289} = \dfrac{316}{17}. Assim a norma é \sqrt{\dfrac{316}{17}}.
O vetor ortogonal normalizado é então
|\tilde{A}\rangle_{\text{(GS,norm)}} = \frac{1}{\sqrt{316/17}}\left(\frac{-12 -10i}{17}|\phi_1\rangle + \frac{-18 +36i}{17}|\phi_2\rangle + \frac{58 +12i}{17}|\phi_3\rangle\right).

Passo 7

Se a intenção for usar o escalar \alpha=3i para formar |\tilde{A}\rangle = |A\rangle + \alpha |B\rangle, então:
\alpha |B\rangle = 3i\bigl(-3|\phi_1\rangle + 4|\phi_2\rangle + 3i|\phi_3\rangle\bigr) = -9i|\phi_1\rangle + 12i|\phi_2\rangle -9|\phi_3\rangle.
Somando com |A\rangle,
|\tilde{A}\rangle_{\text{(comb)}} = (i-9i)|\phi_1\rangle + (-2+12i)|\phi_2\rangle + (5-9)|\phi_3\rangle = -8i|\phi_1\rangle + (-2+12i)|\phi_2\rangle -4|\phi_3\rangle.

Resposta

\displaystyle |\tilde{A}\rangle_{\text{(norm)}}=\frac{1}{\sqrt{30}}\bigl(i|\phi_1\rangle-2|\phi_2\rangle+5|\phi_3\rangle\bigr)
\displaystyle |\tilde{A}\rangle_{\text{(GS,unnorm)}}=\frac{-12-10i}{17}|\phi_1\rangle+\frac{-18+36i}{17}|\phi_2\rangle+\frac{58+12i}{17}|\phi_3\rangle
\displaystyle |\tilde{A}\rangle_{\text{(GS,norm)}}=\frac{1}{\sqrt{316/17}}\left(\frac{-12-10i}{17}|\phi_1\rangle+\frac{-18+36i}{17}|\phi_2\rangle+\frac{58+12i}{17}|\phi_3\rangle\right)
\displaystyle |\tilde{A}\rangle_{\text{(comb, }\alpha=3i\text{)}}=-8i|\phi_1\rangle+(-2+12i)|\phi_2\rangle-4|\phi_3\rangle

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