Determine se a equação diferencial dada é separável, linear ou ambas:
-x^2 d yd x+sen x-y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação de primeira ordem
- x^2 dydx + sin x - y = 0
O conteúdo aqui é classificação de equações diferenciais: vamos ver se cai em separável (dy/dx = f(x)g(y)) ou linear (dy/dx + P(x)y = Q(x)).

Passo 2

Vamos isolar dy/dx para colocar no formato padrão. Primeiro movemos os termos:
- x^2 dydx = y - sin x
Dividindo por -x^2:
dydx = -yx^2 + sin xx^2
Podemos reescrever como
dydx + 1x^2,y = sin xx^2
que é exatamente da forma linear dydx + P(x)y = Q(x), com P(x)=1/x^2 e Q(x)=sin x/x^2.

Passo 3

Para ser separável, precisaríamos de algo como
dydx = f(x),g(y)
mas aqui temos a soma de duas funções, uma que depende de y e outra de x, então não dá para separar em um produto f(x)g(y).

Passo 4

Logo, a equação é linear de primeira ordem e não é separável.

Resposta

A equação é linear, mas não separável.

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