Determine se a equação diferencial dada é separável, linear ou ambas:
-(t^2+1) d yd t=y t-y

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de primeira ordem
-l(t^2+1r)dydt=yt-y
e a tarefa é identificar se ela é separável, linear ou ambas. Vamos usar conceitos de equações separáveis (onde conseguimos escrever todos os termos em y de um lado e em t do outro) e de equações lineares de primeira ordem (da forma dydt+p(t)y=q(t)).

Passo 2

Primeiro, isole dy/dt dividindo ambos os lados por -l(t^2+1r):
dydt=-yt-yt^2+1=-y(t-1)t^2+1
Agora veja que podemos separar as variáveis escrevendo todos os termos em y de um lado e em t do outro:
1y,dy=-t-1t^2+1,dt
Isso mostra que a equação é separável.

Passo 3

Para verificar a linearidade, volte à forma
dydt=-t-1t^2+1,y
e escreva-a como:
dydt+ ract-1t^2+1y=0
Isto está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem dydt+p(t)y=q(t), com p(t)=t-1t^2+1 e q(t)=0. Portanto, é também linear.

Resposta

A equação é ao mesmo tempo separável e linear.

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