Determine se a equação diferencial dada é separável:
d yd x=y e^x+yx^2+2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
dydx = y,e^x+yx^2+2
é separável.
Conteúdo: método de separação de variáveis em equações diferenciais ordinárias.
Para isso, precisamos ver se dá para escrever a equação no formato
g(y),dy = f(x),dx

Passo 2

Começamos escrevendo
dydx = y,e^x+yx^2+2
e usamos a propriedade e^x+y=e^x,e^y. Logo
dydx = y,e^x,e^yx^2+2
Agora dividimos ambos os lados por y,e^y e multiplicamos por dx:
1y,e^y,dy = e^xx^2+2,dx

Passo 3

Note que o lado esquerdo é função apenas de y e o lado direito é função apenas de x.
Isso mostra que a equação está no formato separável.

Resposta

Sim. A equação é separável e fica na forma
1y,e^y,dy = e^xx^2+2,dx

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