Use Transformada de Laplace para encontrar a solução dos seguintes P.V.I.s:
y^prime prime+4 y=ll1, & 0 <= t<pi 0, & pi <= t, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O problema pede a solução do P.V.I.
y'' + 4y = 1, & 0 <= t < pi, 0, & t >= pi, y(0)=1, y'(0)=0
usando Transformada de Laplace. Vamos modelar o segundo membro com funções degrau e depois aplicar linearidade, transformada de derivadas, frações parciais e o teorema de deslocamento no tempo.

Passo 2

Definimos
f(t)= 1, & 0<= t<pi, 0, & t>=pi,
como
f(t)=1 - u(t-pi),
onde u(t-pi) é o degrau unitário que “desliga” a força em t=pi.

Passo 3

Tomando Laplace em
;y''+4y=f(t)=1 - u(t-pi)
e usando
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s, L4y=4Y(s),
L1=1s, Lu(t-pi)=e^-pi ss,
temos
(s^2+4)Y(s)-s=1s-e^-pi ss ;Longrightarrow; Y(s)=s+tfrac1ss^2+4;-;e^-pi ss(s^2+4)

Passo 4

Separamos
Y(s) =ss^2+4 ;+;1s(s^2+4) ;-;e^-pi s,1s(s^2+4)
Vamos inverter cada termo. Sabemos
L^-1tfracss^2+4=cos(2t).
Para
tfrac1s(s^2+4)
fazemos frações parciais:
1s(s^2+4) =As+Bss^2+4,
1=A(s^2+4)+Bscdot s =(A+B)s^2+4A,
logo A=tfrac14, B=-tfrac14. Então
1s(s^2+4) =14,1s-14,ss^2+4

Passo 5

Invertendo:
L^-1ltfrac1s(s^2+4)r =14cdot1-14cos(2t) =14-14cos(2t)
E pelo teorema do deslocamento,
L^-1le^-pi s,tfrac1s(s^2+4)r =l(tfrac14-tfrac14cosl(2(t-pi)r)r),u(t-pi)

Passo 6

Juntando tudo:
y(t) =cos(2t) +l(tfrac14-tfrac14cos(2t)r) -l(tfrac14-tfrac14cosl(2(t-pi)r)r),u(t-pi)
Para 0<= t<pi temos u(t-pi)=0 e
y(t)=14+34cos(2t)
Para t>=pi, como cosl(2(t-pi)r)=cos(2t), vem
y(t)=14+34cos(2t) -l(tfrac14-tfrac14cos(2t)r) =cos(2t)

Resposta

y(t)= dfrac14+dfrac34cos(2t), & 0<= t<pi,[6pt] cos(2t), & t>=pi ]

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