Use Transformada de Laplace para encontrar a solução dos seguintes P.V.I.s:
Passo 1
O problema pede a solução do P.V.I.
y'' + 4y = 1, & 0 <= t < pi, 0, & t >= pi, y(0)=1, y'(0)=0
usando Transformada de Laplace. Vamos modelar o segundo membro com funções degrau e depois aplicar linearidade, transformada de derivadas, frações parciais e o teorema de deslocamento no tempo.
Passo 2
Definimos
f(t)= 1, & 0<= t<pi, 0, & t>=pi,
como
f(t)=1 - u(t-pi),
onde u(t-pi) é o degrau unitário que “desliga” a força em t=pi.
Passo 3
Tomando Laplace em ;y''+4y=f(t)=1 - u(t-pi)
e usando
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s, L4y=4Y(s),
L1=1s, Lu(t-pi)=e^-pi ss,
temos
(s^2+4)Y(s)-s=1s-e^-pi ss ;Longrightarrow; Y(s)=s+tfrac1ss^2+4;-;e^-pi ss(s^2+4)
Passo 4
Separamos
Y(s) =ss^2+4 ;+;1s(s^2+4) ;-;e^-pi s,1s(s^2+4)
Vamos inverter cada termo. Sabemos L^-1tfracss^2+4=cos(2t).
Para tfrac1s(s^2+4)
fazemos frações parciais: