(5 pontos) LC possui a seguinte função utilidade por componentes de seu café da manhã nas padarias/lanchonetes situadas próximas ao seu trabalho: U(P, C)=4 P 3 C. Além disso, sabe-seque o preço médio da unidade de pão com ovos § e cuscuz com salsicha (C) ambos acompanhados de café com leite ou suco respctivamente são: PP=7, PC=8 e a renda disponível por semana
para o orçamento é de w=R 75$. Nesses termos encontre:
e) (0,5 ponto) A equação da restrição orçamentária;
f) (1,5 pontos) Encontre a cesta ótima e desenhe graficamente;
g) (0,5 ponto) Calcule a utilidade/satisfação total de LC com consumo da cesta ótima;
h) (1,5 pontos) Calcule a taxa marginal de substituição no ponto de ótimo (TMS) e comente brevemente (máximo: duas linhas) o resultado da TMS.
i) (1 ponto) Qual o percentual da renda gasta em ambos os bens?

Passo 1

O problema é de escolha ótima com utilidade Cobb-Douglas e restrição orçamentária. LC tem
U(P,C)=P^4C^3,
os preços são PP=7, PC=8 e a renda semanal é w=75. Vamos achar a reta orçamentária, a condição de ótimo via TMS = razão de preços, a cesta ótima, utilidade, TMS no ótimo e os percentuais gastos.

Passo 2

A restrição orçamentária relaciona gasto e renda:
7P+8C=75

Passo 3

Para maximizar U(P,C) sujeita a essa reta, igualamos a taxa marginal de substituição à razão de preços. Primeiro, calculemos as utilidades marginais:
MUP=partial Upartial P=4P^3C^3, MUC=partial Upartial C=3P^4C^2
Logo a TMS (marginal rate of substitution) é
TMS=MUPMUC =4P^3C^33P^4C^2 =43,CP
No ótimo, TMS = PPPC = 78. Assim
43,CP=78 Longrightarrow CP=78cdot34=2132 Longrightarrow C=2132,P

Passo 4

Substituindo C=(21/32)P na restrição
7P+8l(2132Pr)=75 Longrightarrow 7P+16832P=75 Longrightarrow 494P=75 Longrightarrow P=30049approx6,122
E
C=2132,30049=22556approx4,018

Passo 5

A utilidade total na cesta ótima é
Ul(tfrac30049,tfrac22556r) =l(tfrac30049r)^4l(tfrac22556r)^3 approx9,11times10^4

Passo 6

No ótimo TMS=43CP=43cdot225/56300/49=78=0,875.
Comentário: a TMS igual à razão de preços confirma que alcançamos a melhor combinação dado o orçamento.

Passo 7

O gasto em pão é 7P=7cdot30049=210049=3007approx42,86
e em cuscuz é 8C=8cdot22556=180056=2257approx32,14.
Percentuais:
7P75=300/775=47approx57,14% e 8C75=225/775=37approx42,86%

Resposta

(e) ;7P+8C=75
(f) Cesta ótima l(P^*,C^*r)=l(tfrac30049,tfrac22556r). Graficamente, é o ponto de tangência da curva de indiferença P^4C^3=const com a reta de orçamento que intercepta em P-eixo 75/7 e C-eixo 75/8.
(g) Ul(P^*,C^*r)approx9,11times10^4
(h) TMSl(P^*,C^*r)=78=0,875 Isso mostra que a disposição marginal a trocar P por C iguala exatamente a relação de preços.
(i) Gasto em P: 57,14% da renda; gasto em C: 42,86% da renda.

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