Determine a equação diferencial linear utilizando fator integrante.
(1+t) d ud t+u=1+t, t>0

Passo 1

A equação dada é (1+t)dudt+u=1+t,;t>0. Esse é um problema de EDO linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Dividimos tudo por (1+t) (que é positivo para t>0) para colocar no formato padrão dudt+p(t)u=g(t):
dudt+11+tu=1

Passo 3

Identificamos em dudt+p(t)u=g(t) que
p(t)=11+t, g(t)=1

Passo 4

Calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(integral11+t,dtr)=expl(ln(1+t)r)=1+t

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=1+t, transformando o lado esquerdo em derivada de produto:
ddtl((1+t)ur)=1+t

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a t:
(1+t)u=integral(1+t),dt=t+t^22+C

Passo 7

Por fim, isolamos u(t):
u(t)=t+tfract^22+C1+t,que também pode ser escrita como u(t)=t2+C1+t.

Resposta

u(t) = \frac{t + \tfrac{t^2}{2} + C}{1+t}

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