Encontre a solução dos PVIS, determine o intervalo de validade e faça o gráfico no GeoGebra da solução:
y^12 y^prime+y^32=1, y(0)=4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y^tfrac12y' + y^tfrac32 = 1, y(0)=4
Esse é um caso de equação diferencial de primeira ordem em que podemos usar separação de variáveis. Vamos isolar y' e separar as variáveis t e y.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
y^tfrac12dydt = 1 - y^tfrac32
Logo,
dydt = 1 - y^tfrac32y^tfrac12,
e isolamos dt:
dt = y^tfrac121 - y^tfrac32,dy

Passo 3

Para integrar integral y^tfrac121 - y^tfrac32,dy, usamos a substituição
u = y^tfrac32 Longrightarrow du = tfrac32,y^tfrac12,dy Longrightarrow y^tfrac12,dy = tfrac23,du
Assim,
integral y^tfrac121 - y^tfrac32,dy = 23integral du1 - u = -23lnl|1 - ur| + C = -23lnl|1 - y^tfrac32r| + C
Do outro lado integral dt = t + C1. Igualando as constantes, obtemos
-tfrac23lnl|1 - y^tfrac32r| = t + C2

Passo 4

Multiplicando por -tfrac32 e exponenciando,
lnl|1 - y^tfrac32r| = -tfrac32t + C3 Longrightarrow l|1 - y^tfrac32r| = A e^-tfrac32t,
onde A=e^C3>0. Aplicando y(0)=4, temos
l|1 - 4^tfrac32r| = |1 - 8| = 7 = A
O sinal é tal que 1 - y^tfrac32 = -7e^-tfrac32t.

Passo 5

Da relação 1 - y^tfrac32 = -7e^-tfrac32t segue
y^tfrac32 = 1 + 7e^-tfrac32t,
ou seja
y(t) = l(1 + 7e^-tfrac32tr)^tfrac23

Passo 6

Como 1 + 7e^-tfrac32t>0 para todo tinR, a solução é válida em todo R.
Para fazer o gráfico no GeoGebra basta definir a função de t:
f(t) = l(1 + 7exp(-tfrac32t)r)^tfrac23
e desenhar sua curva. Observa-se que ytoinfty quando tto -infty e yto1 quando tto+infty.

Resposta

y(t) = l(1 + 7e^-tfrac32tr)^tfrac23, tin(-infty,infty)
No GeoGebra, digite
f(t) = l(1 + 7exp(-tfrac32t)r)^tfrac23
para visualizar o gráfico.

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